3D数学基础向量

Posted 2020-10-12 SherryKe

　　向量的基本运算包括加法、减法、点乘、叉乘、单位化运算等，而在游戏开发中使用最为广泛的是减法、点乘、叉乘、单位化运算。向量是具有方向和长度的矢量，有2D、3D、4D等的。在游戏开发里面一般使用的是2D和3D，分别用<x,y>和<x,y,z>来表示的。

　　（1）向量的加法

　　两个向量的维数相同，那么二者相加后得到的值还是一个维数相同的向量，其运算方法是对应项相加。例如：[x,y,z]+[a,b,c]=[x+a,y+b,z+c]。向量的加法在游戏开发中一般表示物体从一个位置移动到另一个位置。

　　如果想让一个物体V1移动到另一个物体V2的位置，通常的做法时先计算出方向，即Vector3 dir=(V2-V1),normalized，意为将两个向量详见并且单位化。如果说V1表示的物体的位置是obj.transform.position，将他移动到V2的位置可以表示为obj.transform.position+=dir*0.5（系统可以通过效果表现来设置，任意的）;原型为y=ax+b。

　　（2）向量的减法

　　向量的减法可以解释为加上负向量。例如：a-b=a+(-b)；[x,y,z]-[a,b,c]=[x-a,y-b,z-c]，当然也必须要维数相同。向量中的减法在游戏开发中主要应用在计算方向上，也应用在计算两个物体之间的距离上。

　　将一个物体的位置V1移动到位置V2，首先要做的就是确定其移动方向。计算公式为：(V2-V1).normalized；而计算距离可以使用Vector3.Distance(Vector3 a,Vector3 b)。

　　（3）向量的点乘

　　标量和向量可以点乘，向量和向量也可以点乘,向量点乘就是对应分量乘积的和，结果是标量。可以通过这个公式来计算[x,y,z]?[a,b,c]=ax+by+cz;也可以通过:a?b=|a|*|b|*cos<a,b>来计算，其中cos<a,b>代表向量a和向量b角度的余弦值。在游戏开发中通常使用点乘计算角度点乘得到的值是弧度常量，也可以转化为角度值。比如玩家转向NPC或者怪物都与点乘相关。

　　2D空间的点乘可以使用Vector2.Dot(Vector2 a,Vector2 b),返回值是一个float类型的数值.3D空间的计算可以使用Vector3.Dot(Vector3 a,Vector3 b)。

　　（4）向量的叉乘

　　向量的叉积与点击不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量的和垂直。计算公式为：a×b=|a|*|b|*sin<a,b>，其中sin<a,b>表示的是两个向量之间夹角的正弦值。在一个平面内的两个非平行向量叉乘的结果是这个平面的法向量，而法向量的方向可以用“右手定则”来判断。具体为：若是满足右手定则，当右手的四指是从向量a以不超过180°的转角转向向量b时，竖起的大拇指方向是n的指向。当法向量n与某一坐标轴同向时，四指指的是逆时针方向，而不超过180°的方向，使得可以用叉乘来判断转向一定是最优转向。在游戏开发中，可以用叉乘来判断一个角色是顺时针转动还是逆时针转动才能更快地转向敌人。

　　Vector3.Cross(Vector3 a,Vector3 b)得到的值类型，也就是垂直于a,b的向量。

　　在书上学习到的赛车游戏中经常用的方向盘例子贴出来可以互相学习:

 void RotateWheel(Vector3 pos)
    {
        currVec = pos - wheelPos;            //计算方向盘中心点到触控点的向量

        Vector3 normalVec = Vector3.Cross(currVec, oldVec);   //计算法向量
        float vecAngle = Vector2.Angle(currVec, oldVec);      //计算两个向量的夹角

        //使用“右手定则”可知，当大拇指方向指向我们时，四指方向为逆时针方向。
        //当大拇指方向远离我们是，四指方向为顺时针方向
        //这里叉乘后的法向量平行于z轴，所以用法向量的z分量的政府来判断法向量的方向
        if (normalVec.z > 0)        //与z轴通向，则顺时针转
        {
            wheel.transform.Rotate(Vector3.forward, -vecAngle);    //顺时针转
        }
        else if (normalVec.z < 0)   //与z轴反向，则逆时针转
        {
            wheel.transform.Rotate(Vector3.forward, vecAngle);    //逆时针转
        }

        oldVec = currVec;

    }