HDU 2176 取(m堆)石子游戏 （尼姆博奕）

Posted 2020-10-02 午夜的行人

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2176

m堆石子,两人轮流取.只能在1堆中取.取完者胜.先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出怎样取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者胜,先取者第1次取时可以从有8个的那一堆取走7个剩下1个,也可以从有9个的中那一堆取走9个剩下0个,也可以从有10个的中那一堆取走7个剩下3个.

Input输入有多组.每组第1行是m,m<=200000. 后面m个非零正整数.m=0退出. 
Output先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出先取者第1次取子的所有方法.如果从有a个石子的堆中取若干个后剩下b个后会胜就输出a b.参看Sample Output. 
Sample Input

2
45 45
3
3 6 9
5
5 7 8 9 10
0

Sample Output

No
Yes
9 5
Yes
8 1
9 0
10 3

题解：通常的Nim游戏的定义是这样的：

有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

 

结论：

必败状态：a1^a2^......^an=0

必胜状态：a1^a2^.......^an=k (其中k不为零)

 

证明：

terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。

 

对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai‘后满足a1^a2^...^ai‘^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai‘=ai^k，此时a1^a2^...^ai‘^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

 

对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai‘后满足a1^a2^...^ai‘^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai‘^...^an可以得到ai=ai‘。所以将ai改变成ai‘不是一个合法的移动

 

所以在这道题中如果当前是必胜的话，那么就要下一个移动的人必败，所以就要改变一个ai变成ai‘使得原本的a1^...ai^...^an!=0变成a1^...ai‘...^an=0

可以利用ai^k<ai‘ 判断

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 using namespace std;
 6 const int N=200002;
 7 int a[N];
 8 int main()
 9 {
10     int m,sum,s,i;
11     while(cin>>m&&m){
12         sum=0;
13         for(i=0;i<m;i++){
14             cin>>a[i];
15             sum^=a[i];
16         }
17         if(sum==0) cout<<"No"<<endl;
18         else {
19             cout<<"Yes"<<endl;
20             for(i=0;i<m;i++){
21                 s=sum^a[i];
22                 if(s<a[i]){
23                     cout<<a[i]<<" "<<s<<endl;
24                 }
25             }
26         }
27     }
28     return 0;
29 }