杭电acm 2176 取（m堆）石子游戏 (Nim游戏）

Posted 2021-01-14 fromzore

                           取(m堆)石子游戏

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Problem Description

m堆石子,两人轮流取.只能在1堆中取.取完者胜.先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出怎样取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者胜,先取者第1次取时可以从有8个的那一堆取走7个剩下1个,也可以从有9个的中那一堆取走9个剩下0个,也可以从有10个的中那一堆取走7个剩下3个.

 Input

输入有多组.每组第1行是m,m<=200000. 后面m个非零正整数.m=0退出.

 

 Output

先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出先取者第1次取子的所有方法.如果从有a个石子的堆中取若干个后剩下b个后会胜就输出a b.参看Sample Output.

 

Sample Input

2

45 45

3

3 6 9

5

5 7 8 9 10

0

 

 Sample Output

No

Yes

9 5

Yes

8 1

9 0

10 3

 

这道题是一道典型的Nim游戏题。对于两个人取石子，定义P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。直观的说，上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，就是说对于这一轮，后出手的可以保证必胜也就是先出手的一定会失败。现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position，也就是对于这一局，现在轮到的这一局，先手可以保证必胜。对上述内容可以进行以下定义：

1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；

2.可以移动到P-position的局面是N-position；

3.所有移动都导致N-position的局面是P-position（这样想，N-position是先手必胜，P-position是后手必胜，现在的情况可以推出下一move是先手胜，下一轮的先手对于本轮是后手）；

好了，现在知道这三点就好写题了，下面是关于这三点推论：对于局面aN（a1，a2,……,an）

1.所有的terminal position都是P-position，显然temerminal position的可能性只有一个，就是全0，也就是a1^a2^……^an=0；

2.对于aN存在一个合法的移动使得a1^a2^……^an=0；我们来设未移动时a1^a2^……^an=k;则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1。这时ai^k<ai一定成立。这时将ai=ai^k,此时a1^a2^……^an=0.

3.因为异或满足消去率，所以当a1^a2^……^an=0时，一定不存在某个合法移动使得a1^a2^……^ai‘^……^an=0;

 

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=200005;
int num[maxn];
int main(){
    int m,r;
    while(~scanf("%d",&m)&&m){
        r=0;
        for(int i=0;i<m;i++){
            scanf("%d",&num[i]);
            r=r^num[i];
        }
        if(r==0)printf("No
");
        else{
            printf("Yes
");
            for(int i=0;i<m;i++){
                if(num[i]>(num[i]^r))
                printf("%d %d
",num[i],num[i]^r);
            }
        }
    }
}