构造矩阵解决这个问题 nyoj299 Matrix Power Series

Posted 2020-10-01 lytwajue

矩阵的又一个新使用方法，构造矩阵进行高速幂。

比方拿 nyoj299 Matrix Power Series 来说

给出这样一个递推式： S = A + A² + A³ + … + A^k.

让你求s。A是一个矩阵，而k很大。

怎么办呢？

推理发现：Fn = A + A*F（n-1）

然后我们能够构造矩阵：

（Fn 。1 ） =  （Fn-1 ，1） * （A。0。

A，1） = （F1 , 1） * （A，0。

A，1）^K-1

那么我们就能够用一个矩阵高速幂了。

以下是模板题目的代码：

#include <cstdio>
#include <string>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
int M;
const long long N = 32*2;
long long t,b,c,f1,f2;
struct tree  //基础矩阵
{
    long long line,cal;
    long long a[N+1][N+1];
};
struct Node  //构造矩阵
{
    long long line,cal;
    long long a[N+1][N+1];
    Node(tree x)
    {
        line=x.line*2;
        cal=2*x.cal;
        for(int i=0;i<x.line*2;i++)
        {
            for(int j=0;j<x.cal;j++)
            {
                a[i][j]=x.a[i%x.line][j];
            }
        }
        for(int i=0;i<x.line;i++)
            for(int j=x.cal;j<x.cal*2;j++)
                a[i][j]=0;
        for(int i=x.line;i<2*x.line;i++){
            for(int j=x.cal;j<2*x.cal;j++){
                if(i==j)
                    a[i][j]=1;
                else
                    a[i][j]=0;
            }
        }
    }
};

Node isit(Node x,long long c)  //矩阵初始化
{
    for(long long i=0;i<N;i++)
        for(long long j=0;j<N;j++)
            x.a[i][j]=c;
    return x;
}

Node Matlab(Node x,Node s)  //矩阵乘法
{
    Node ans(x);
    ans.line = x.line,ans.cal = s.cal;
    ans=isit(ans,0);
    for(long long i=0;i<x.line;i++)
    {
        for(long long j=0;j<x.cal;j++)
        {
            for(long long k=0;k<s.cal;k++)
            {
                ans.a[i][j] += x.a[i][k]*s.a[k][j];
                ans.a[i][j]=(ans.a[i][j])%M;
            }
        }
    }
    return ans;
}
Node Fast_Matrax(tree x,long long n)  //矩阵高速幂
{
    Node ans(x),tmp(x);
    for(int i=0;i<ans.line/2;i++)  //chushihua
    {
        for(int j=0;j<ans.cal;j++)
        {
            ans.a[i][j]=ans.a[i+ans.line/2][j];
            //printf("%d ",ans.a[i][j]);
        }
    }
    ans.line/=2;
    while(n>0)
    {
        if(n%2)
        {
            ans=Matlab(ans,tmp);
        }
        tmp=Matlab(tmp,tmp);
        n/=2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,k,m;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&k,&m))
    {
        M=m;
        tree p;
        p.line=n,p.cal=n;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&p.a[i][j]);
        Node ans=Fast_Matrax(p,k-1);
        for(int i=0;i<ans.line;i++)
        {
            for(int j=0;j<ans.cal/2;j++)
                printf("%d ",ans.a[i][j]);
            puts("");
        }
    }
    return 0;
}