矩阵加速

Posted 2021-03-25 emcikem

对递归式进行矩阵构造

传送门

构造矩阵
(left[ egin{matrix} 1&0&1\1&0&0\0&1&0 end{matrix} ight]) (*left[ egin{matrix} F_{n}\F_{n-1}\F_{n-2} end{matrix} ight])

先令构造矩阵进行矩阵快速幂
(left[ egin{matrix} 1&0&1\1&0&0\0&1&0 end{matrix} ight]^{n})

对于欲求矩阵和构造矩阵，如果乘1次
(left[ egin{matrix} 1&0&1\1&0&0\0&1&0 end{matrix} ight]) (*left[ egin{matrix} F_{n}\F_{n-1}\F_{n-2} end{matrix} ight]) (=left[ egin{matrix} F_{n+1}\F_{n}\F_{n-1} end{matrix} ight])

那么n个构造矩阵和欲求矩阵相乘，就是
(left[ egin{matrix} F_{n+1}\F_{n}\F_{n-1} end{matrix} ight])
也就可以得出n个矩阵进行矩阵快速幂，然后与欲求矩阵相乘，最后第2行就是所求值

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn =1e2+5;
ll n,m,p;
struct Matrix{
    ll m[maxn][maxn];
};
Matrix a,e;//a是输入矩阵，e是单位矩阵
Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix c;
    rep(i,1,n+1)rep(j,1,n+1)c.m[i][j]=0;
    rep(i,1,n+1)rep(j,1,n+1)rep(k,1,n+1)
    c.m[i][j]=c.m[i][j]%mod+a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod;
    return c;
}
Matrix pow(Matrix x,ll y){
    Matrix ans =e;
    while(y){
        if(y&1)ans=Mul(ans,x);
        x=Mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        ll p;
        cin>>p;
        n= 3;
        rep(i,1,n+1)rep(j,1,n+1)a.m[i][j]=0;
        a.m[1][1]=a.m[1][3]=a.m[2][1]=a.m[3][2]=1;
        rep(i,1,n+1)e.m[i][i]=1;
        Matrix ans = pow(a,p);
        printf("%lld
",ans.m[2][1]%mod);
    }
    return 0;
}