OpenGL投影矩阵(Projection Matrix)构造方法

Posted 2022-04-02 leixinyue

(翻译，图片也来自原文)

一、概述

绝大部分计算机的显示器是二维的(a 2D surface)。在OpenGL中一个3D场景需要被投影到屏幕上成为一个2D图像(image)。这称为投影变换(参见这或这)，需要用到投影矩阵(projection matrix)。

首先，投影矩阵会把所有顶点坐标从eye coordinates(观察空间，eye space或view space)变换到裁剪坐标(clip coordinated，属于裁剪空间，clip space)。然后，这些裁剪坐标被变换到标准化设备坐标(normalized device coordinates, NDC，即坐标范围在-1到1之间)，这一步是通过用用裁剪坐标的\(w_c\)分量除裁剪坐标实现的。

因此，我们要记住投影矩阵干了两件事: 裁剪clipping(即frustum culling，视景体剔除)和生成NDC。下文会讲述如何根据6个参数(left, right, bottom, top, near和far边界值)来构建投影矩阵。

注意视景体剔出(也即clipping)是在裁剪坐标下完成的，是早于用\(w_c\)(即上面提到的\(w\)分量,c表示clipping)除裁剪坐标的(它会生成NDC)。裁剪坐标\(x_c, y_c, z_c\)会与\(w_c\)进行比较。如果裁剪坐标比\(-w_c\)小或者比\(w_c\)大，则丢弃这个顶点(vertex)。即经裁剪后剩余的顶点的裁剪坐标满足:\(-w_c < x_c, y_c, z_c < w_c\)。OpenGL会成发生裁剪的地方生成新的边，如下图1，一个三角形经裁后，成了一个梯形，两条红色的边就是裁剪后新生成的。

(图1. 一个被视体裁剪的三角形)

一般常用的有透视投影和正交投影，相应地也就有两种投影矩阵。

二、透视投影(Perspective Projection)

(图2. 透视投影中的视景体和标准化设备坐标NDC)

在透视投影中，一个3D point是在一个截头锥体中(truncated pyramid frustum,上面图2左图，即一个棱台)，会被映射到一个立方体(NDC坐标空间)中，x坐标范围从[1, r]变成了[-1, 1]，y坐标范围从[b, t]变成了[-1, 1]，z坐标从[-n, -f]变成了[-1, 1]。

注意在view space中(即eye coordinate)，OpenGL使用的是右手坐标系(上面图2左图)，但是在NDC中使用的是左手坐标系(上面图2右图)。这样的话，在view space中camera位于坐标原点看向-z轴，而在NDC中camera是看向+z轴的。上面图2中的n表示近裁剪面(near plane)，是正值。因为glFrustum()接受的near、far的值是正的，所以在在构造投影矩阵时，要为它们取负(negate them)。

在OpenGL中，view space(又称为eye space)中的一个3D point被投影到近裁剪面(此处用近裁剪面作投影平面，projection plane)上。下图3和图4显示了eye space中的一个点\((x_e, y_e, z_e)\)是怎样被投影成近裁剪面上的一个点\((x_p, y_p, z_p)\)。

(图3. 视景体的俯视图)

(图4.视景体的侧视图)

从视景体的俯视图(图3)看，x轴坐标\(x_e\)被映射成为\(x_p\)，而\(x_p\)可以根据三角形相似形计算出来:

\[ \fracx_px_e=\frac-nz_e \Longrightarrow x_p = \frac-n\cdot x_ez_e=\fracn\cdot x_e-z_e \]

从视景体的侧视图(图4)看，可以用相似的方法计算出\(y_p\):

\[ \fracy_py_e=\frac-nz_e \Longrightarrow y_p = \frac-n\cdot y_ez_e=\fracn\cdot y_e-z_e \]

注意\(x_p\)和\(y_p\)都依赖\(z_e\)并与\(-z_e\)成反比。这是构建投影矩阵的第一个线索。在eye coordinates被投影矩阵乘后，得到的裁剪坐标仍然是齐次坐标(homogeneous coordinates)。最终它需要除以裁剪坐标的w分量，才能变成标准化设备坐标(NDC)。

\[ \left( \beginmatrix x_clip\y_clip\z_clip\w_clip \endmatrix \right) = M_projection\cdot \left( \beginmatrix x_eye\y_eye\z_eye\w_eye \endmatrix \right), \left( \beginmatrix x_ndc\y_ndc\z_ndc \endmatrix \right)=\left( \beginmatrix \fracx_clipw_clip\\fracy_clipw_clip\\fracz_clipw_clip \endmatrix \right) \]

因此，我们可以把裁剪坐标的w分量设置为\(-z_e\)，则投影矩阵第4行变为(0, 0, -1, 0)。

\[ \left( \beginmatrix x_c\y_c\z_c\w_c \endmatrix \right)=\left( \beginmatrix \cdot & \cdot &\cdot &\cdot\\cdot & \cdot &\cdot &\cdot\\cdot & \cdot &\cdot &\cdot\0 & 0 & -1 & 0 \endmatrix \right) \left( \beginmatrix x_e\y_e\z_e\w_e \endmatrix \right), \therefore w_c=-z_e \]

接下来，我们把刚计算得到的\(x_p, y_p\)线性地(with linear relationship)映射到NDC中的\(x_n, y_n\)(这里的n表示NDC)：\([l, r] \Rightarrow [-1, 1]\)，\([b, t] \Rightarrow [-1, 1]\)。

(图5. 把\(x_p\)映射到\(x_n\))

因为\(x_p\)和\(x_n\)之间是线性映射关系，如图5，所以可设两者之间的映射函数为:

\[ x_n = \frac1-(-1)r-l\cdot + \beta \]
把\((x_p, x_n) = (r, l)\)代入上面方程得:
\[ 1 = \frac2rr-l+\beta \]
所以
\[ \beginequation \beginaligned \beta&=1 - \frac2rr-l=\fracr-lr-l - \frac2rr-l\&=\fracr-l-2rr-l=\frac-r-lr-l=-\fracr+lr-l \endaligned \endequation \\therefore x_n=\frac2x_pr-l-\fracr+lr-l \]

同理，可以求出\(y_p\)和\(y_n\)之间的关系表达式，如图6及以下公式：

(图6.把\(y_p\)映射到\(y_n\))

\[ y_n = \frac1-(-1)t-b\cdot y_p + \beta \]
用$ (y_p, y_n)=(t,1)$代入上式得
$$
1 = \frac2tt-b+\beta\

\beginequation
\beginaligned
\beta &= 1 - \frac2tt-b = \fract-bt-b - \frac2tt-b\
&=\fract-b-2tt-b=\frac-t-bt-b=-\fract+bt-b
\endaligned
\endequation
\
\therefore y_n=\frac2y_pt-b-\fract+bt-b
$$

接下来，把上上面求得的\(x_p=\fracnx_e-z_e\)和\(y_p=\fracny_e-z_e\)代入刚刚求到的线性关系式得:

\[ \beginequation \beginaligned x_n &= \frac2x_pr-l-\fracr+lr-l\&= \frac2\cdot \fracn\cdot x_e-z_er-l-\fracr+lr-l\&= \frac2n\cdot x_e(r-l)(-z_e) - \fracr+lr-l\&= \frac\frac2nr-l\cdot x_e-z_e - \fracr+lr-l\&= \frac\frac2nr-l\cdot x_e-z_e + \frac\fracr+lr-l\cdot z_e-z_e\&= \left. \left(\underbrace\frac2nr-l\cdot x_e + \fracr+lr-l\cdot z_e_x_c\right) \middle/ (-z_e) \right. \endaligned \endequation \]

\[ \beginequation \beginaligned y_n &= \frac2y_pt-b - \fract+bt-b\&= \frac2\cdot \fracn\cdot y_e-z_et-b - \fract+bt-b\&= \frac2n\cdot y_e(t-b)(-z_e) - \fract+bt-b\&= \frac\frac2nt-b\cdot y_e-z_e - \fract+bt-b\&= \frac\frac2nt-b\cdot y_e-z_e + \frac\fract+bt-b\cdot z_e-z_e\&= \left. \left(\underbrace\frac2nt-b\cdot y_e + \fract+bt-b\cdot z_e_y_c\right) \middle/ (-z_e) \right. \endaligned \endequation \]

注意上面刚刚求得的\(x_n, y_n\)是NDC坐标，而NDC应该是由裁剪坐标除以\(w_c\)得到，也即透视除法(perspective division), \((x_c/w_c, y_c/w_c)\)。又因为，之前我们把\(w_c\)的值设置为\(-z_e\)，所以上面\(x_n, y_n\)表达式中括号里的部分表示裁剪空间的坐标\(x_c, y_c\)。

加上上面的两个方程，我们可以找到投影矩阵的第1行和第2行:

\[ \beginequation \left( \beginmatrix x_c\y_c\z_c\w_c \endmatrix \right) =\left( \beginmatrix \frac2nr-l & 0 & \fracr+lr-l & 0\0 & \frac2nt-b & \fract+bt-b & 0\\cdot & \cdot & \cdot & \cdot\0 & 0 & -1 & 0 \endmatrix \right) \left( \beginmatrix x_e\y_e\z_e\w_e \endmatrix \right) \endequation \]

现在矩阵只剩下第三行是待求解的。在eye space中\(z_e\)总是被投影到近裁剪面(near plane)上，即值总是为-n。但是我们为了完成裁剪(clipping)和深度测试(depth test)，每一个顶点应该具有不同的z值。此外，投影变换应该是可逆的。既然我们知道z不依赖于x和y的值，那么我们就借用w分量来找到\(z_n\)和\(z_e\)之间的关系。因此，我们可以指定第三行长这样:

\[ \beginequation \left( \beginmatrix x_c\y_c\z_c\w_c \endmatrix \right) =\left( \beginmatrix \frac2nr-l & 0 & \fracr+lr-l & 0\0 & \frac2nt-b & \fract+bt-b & 0\0 & 0 & A & B\0 & 0 & -1 & 0 \endmatrix \right) \left( \beginmatrix x_e\y_e\z_e\w_e \endmatrix \right) \endequation, z_n=z_c/w_c=\fracAz_e + Bw_e-z_e \]

因为在eye space中，\(w_e\)总是等于1，因此：

\[ z_n = \fracAz_e + B-z_e \]
(注意，\(w_c = -z_e, w_e=1\)别搞混淆了)

为了找到系数A和B，我们把\((z_e, z_n)\)之间的关系: (-n, -1)和(-f, 1)，代入上面这个等式中，得到:

\[ \beginequation \left\ \beginarraylr \frac-An+Bn = -1 & \\frac-Af+Bf = 1 & \endarray \right. \endequation \\Downarrow \]

\[ \beginequation \left\ \beginarraylr -An + B = -n & (1)\-Af + B = f & (2) \endarray \right. \endequation \]

由方程(1)可得:
\[ \beginequation \beginarraylr B=An-n & (1') \endarray \endequation \]

把方程(1‘)代入到方程(2)，可解出A:
\[ \beginequation \beginarraylr -Af + (An-n) = f & (2')\-(f-n)A=f+n &\A=-\fracf+nf-n& \endarray \endequation \]

把A的值代入方程(1‘)可求得B:
\[ \beginequation \beginaligned B &=-n - \left(\fracf+nf-n\right)n=-\left(1+\fracf+nf-n\right)n\&= -\frac2fnf-n \endaligned \endequation \]

有了A和B，则\(z_e\)和\(z_n\)之间的关系表达式为:

\[ \beginequation \beginaligned z_n = \frac-\fracf+nf-nz_e - \frac2fnf-n-z_e &\quad (3) \endaligned \endequation \]

最后，完整的投影矩阵为:

\[ \left( \beginmatrix \frac2nr-l & 0 & \fracr+lr-l & 0\0 & \frac2nt-b & \fract+bt-b & 0\0 & 0 & \frac-(f+n)f-n & \frac-2fnf-n\0 & 0 & -1 & 0 \endmatrix \right) \]

上面这是一个通用视景体的投影矩阵。当视景体是对称时，即r=-l, t=-b，则:
\[ \beginequation \left\ \beginarraylr r+l=0\r-l=2r \endarray \right. \endequation \]

\[ \beginequation \left\ \beginarraylr t+b=0\t-b=2t \endarray \right. \endequation \]

故投影矩阵可以简化为:

\[ \left( \beginmatrix \fracnr & 0 & 0 & 0\0 & \fracnt & 0 & 0\0 & 0 & \frac-(f+n)f-n & \frac-2fnf-n\0 & 0 & -1 & 0 \endmatrix \right) \]

透视投影矩阵我们已经求出来了，在继续往下探讨之前，请再看一下上面的方程(3)，即:

\[ \beginequation \beginaligned z_n = \frac-\fracf+nf-nz_e - \frac2fnf-n-z_e &\quad (3) \endaligned \endequation \]

可以看到它是一个有理函数(rational function)，且是一个非线性函数。这意味着在近裁剪面(near plane)附近，它具有很高的精度(very high precision)，而在远裁剪面(far plane)附近具有非常小的精度(very little precision)。如果[-n, -f]的范围比较大，它会造成深度值精度问题(z-fighting)，即可能在离far plane比较近的地方，当\(z_e\)的值差异较小时，它们对应的\(z_n\)值相同，或者说当一个\(z_e\)值发生小的变化时，对应的\(z_n\)不受影响(即值不变)。这会产生错误的视觉效果。如下面图7所示，在远裁剪面附近，\(z_n\)的值几乎不随\(z_e\)发生变化。

(图7. 深度缓存的精度比较)

一些避免z-fighting的方法:

• 首先也是最重要的技巧是不要把物体放的太近。即使是视觉效果上贴在一块的物体，也可以把它们稍微分开一点，只要肉眼看不到即可。
• 把近裁剪面设置的尽可能远。因为上面说过，离近裁剪面近的地方，精度会高。但这样可能造成离camera很近的物体被裁剪掉。这需要大量实验才能找到适合的距离。
• 尽量缩短n和f之间的距离。这和上一条其实一样。
• 使用更高精度的depth buffer。现在一般depth bufer中depth value使用16, 24或32 bit的flotas。大部分系统使用的是24 bits的floats。因此可以改成使用32 bits的depth buffer。但这样会增加一点性能负担。

三、正交投影

构建正交投影矩阵相对来说会简单一些。

(图8. 正交投影视景体及对应的NDC)

在eye space中，所有\(x_e, y_e, z_e\)分量是线性映射到NDC中的。我们只需要把一个长方体(rectangular volume)所表达的体积缩放成一个立方体(cube)，并把它移动到原点(如图8)。下面我们将使用线性映射关系(linear relationship)来找到正交投影矩阵的各个元素。

(图9. 把\(x_e\)映射到\(x_n\))

\[ \beginequation \beginaligned x_n &= \frac1-(-1)r-l\cdot x_e + \beta\1&=\frac2rr-l + \beta, (substitute (r, 1) for (x_e, x_n))\\beta &= 1 - \frac2rr-l=-\fracr+lr-l\\therefore x_n &= \frac2r-l\cdot x_e - \fracr+lr-l \endaligned \endequation \]

(图10. 把\(y_e\)映射到\(y_n\))

\[ \beginequation \beginaligned y_n &= \frac1-(-1)t-b\cdot y_e + \beta\1 &= \frac2tt-b+\beta, (substitute (t, 1) for (y_e, y_n))\\beta &= 1 - \frac2tt-b = -\fract+bt-b\\therefore y_n &= \frac2t-b\cdot y_e - \fract+bt-b \endaligned \endequation \]

(图11. 把\(z_e\)映射到\(z_n\))

\[ \beginequation \beginaligned z_n &= \frac1-(-1)-f-(-n)\cdot z_e + \beta\1 &=\frac2ff-n + \beta, (substitute (-f, 1) for (z_e, z_n))\\beta &= 1 - \frac2ff-n=-\fracf+nf-n\\therefore z_n &= \frac-2f-n\cdot z_e - \fracf+nf-n \endaligned \endequation \]

因为对于正交投影w分量不是必须的，所以正交投影矩阵的第4行为(0, 0, 0, 1)。因此完整的正交投影矩阵为:

\[ \left( \beginmatrix \frac2r-l & 0 & 0 & -\fracr+lr-l\0 & \frac2t-b & 0 & -\fract+bt-b\0 & 0 & \frac-2f-n & -\fracf+nf-n\0 & 0 & 0 & 1 \endmatrix \right) \]

如果视景体对称的话，即r=-l, t=-b, 则:

\[ \beginequation \left\ \beginarraylr r+l=0 \r-l=2r \endarray \right. \endequation \]

\[ \beginequation \left\ \beginarraylr t+b=0 \t-b=2r \endarray \right. \endequation \]

故正交投影矩阵被简化为:
\[ \left( \beginmatrix \frac1r & 0 & 0 & 0\0 & \frac1t & 0 & 0\0 & 0 & \frac-2f-n & -\fracf+nf-n\0 & 0 & 0 & 1 \endmatrix \right) \]

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References:

• OpenGL Projection Matrix
• Depth-testing