一些简单的排列组合问题

Posted 2020-10-01 zbtrs

排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号

  

A(n,m)表示或

 

【P(n,m)】表示。

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(当n=m时，上述式子分母为0!=1).

组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

C(n,m) 表示。(C即Combination).

C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；C(n,m)=C(n,n-m);            ----摘自百度百科

例1：传送门

例2：将n个相同的球放到m个不同的袋子里有几种方案？

分析：假设m=3,n=2,我们可以这么放(*代表求，空白区域代表袋子): *|  |*,还可以这么放： |**| ,还可以这么放：| |**......这样的话就有m-1个隔板(|)和n个球需要放置在n+m-1个位置中，考虑放置隔板的方案数为C(n+m-1,m-1),考虑求的方案数为C(n+m-1,n),那么答案为C(n+m-1,m-1) = C(n+m-1,n).

例3：将n个不同的球放到m个不同的袋子里有几种方案？

分析：第一个袋子可以放n种球，第二个袋子可以放n-1种球......第m个袋子可以放n-m种球，答案为n*(n-1)*...*(n-m).这样分析有点麻烦，因为每一种球都是不一样的，每一种球都只能放进1个袋子里，而每一种袋子则不一样，可以装下n种球。所以我们对球进行分析：第一个球可以放m个袋子里，第二个球可以放m个袋子里，...,第n个球可以放m个袋子里，答案为m^n.

例4：将n个不同的球放到m个相同的袋子里有几种方案？

分析：袋子相同就没办法用数学公式推导了，考虑dp.令f[i][j]表示前i个球放在j个袋子里的方案数。考虑第i个球怎么放，如果第i个球占用了一个新的袋子，那么f[i][j] += f[i-1][j-1]就好了。如果没有呢？那么这个球就能放到j个袋子里，即f[i][j] += f[i-1][j] * j,合并一下f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j] * j.答案是f[n][1] + f[n][2] + ...+ f[n][m]

例5：将n个相同的球放到m个相同的袋子里有几种方案？

分析：球相同，袋子也相同，这要怎么计数啊QAQ,要既不多也不少的计数，肯定是有某一种顺序，我们按照每个袋子装球的数量降序排列，这就相当于把相同的袋子强行当成了不同的袋子，为了维护这个降序，我们一旦在第i个袋子放一个球，那么前面的袋子都必须要放一个球，当然，我们也可以考虑不在这个位置多放一个球，我们在后面的袋子放，所以f[i][j] = f[i-j][j] + f[i][j-1].这道题和上一道题有一个很大的区别，上一道题的状态转移方程没有考虑不放的情况，是因为袋子是相同的，放在这个袋子和那个袋子是没有区别的，我们硬性规定第i个球必须放在我们选定的j个袋子中，而这一题虽然题面上说袋子相同，但是我们硬性规定是不同的，所以可以考虑不放的情况。

总结：这四道题可以得出一个规律：袋子不同用数学，袋子相同用dp,不同和相同的区别在于，不同的话我们可以单独考虑第i个，相同的话必须要变成“不同”的才能单独考虑!