排列组合问题的一些整理

Posted 2021-01-07 fengxunling

初步：加法原理和乘法原理

概念：

加法原理是分类计数原理，常用于排列组合中，具体是指：做一件事情，完成它有n类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第n类方式有Mn种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种方法。
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。

这个感觉大家都知道（小学奥数就开始学了吧qwq），感觉没有什么好说的qwq

例题参照：AHOI2009 中国象棋

这个题因为和DP结合，状态设计比较难想。但是当我们用(f[i][j][k])来表示到第i行，其中j列摆放了一个棋子，k列摆放了两个棋子之后，我们不难发现状态的转移就是其实就是加法原理和乘法原理的应用：
以下是核心代码：

dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k])%mod;
//这一行什么都不放
dp[i][j-1][k+1]=(dp[i][j-1][k+1]+j*dp[i-1][j][k])%mod;
//这一行在原先只有一个棋子的那一列放一个棋子
dp[i][j+1][k]=(dp[i][j+1][k]+(m-k-j)*dp[i-1][j][k])%mod;
//这一行在原先没有棋子的那一列放一个棋子
dp[i][j+2][k]=(dp[i][j+2][k]+(m-k-j)*(m-k-j-1)/2*dp[i-1][j][k])%mod;
//这一行在原先没有棋子的两列分别摆放一个棋子
dp[i][j][k+1]=(dp[i][j][k+1]+(m-k-j)*dp[i-1][j][k]*j)%mod;
//这一行在原先有一个棋子和没有棋子的两列分别放一个
dp[i][j-2][k+2]=(dp[i][j-2][k+2]+j*(j-1)/2*dp[i-1][j][k])%mod;
//这一行在原先有一个棋子的两列分别摆放一个棋子

加法原理和乘法原理的区别：

一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是 “分类完成”，乘法原理是 “分步完成”。

初识排列

定义

从(n)个不同元素中，任取(m)（m<=n,m与n均为自然数, 下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从(n)个不同元素中取出(m)个元素的一个排列；从(n)个不同元素中取出(m)((m<=n))个元素的所有排列的个数，叫做从(n)个不同元素中取(m)个元素的排列数，用符号(A_n^m) 表示。

计算公式

(A_n^m=frac{n!}{(n-m)!})

常见问题

1、全排列问题
(A_n^n=n(n-1)(n-2)...3 imes 2 imes 1=n!)

2、部分排列
就是上面的计算公式qwq

初识组合

定义：

(n)个人中选(m)((m<=n)) 个出来，不排队，不在乎顺序就是(C_n^m)。
它和排列有关系为：(C_n^m imes A_m^m=C_n^m imes m!=A_m^n)
（解释：因为要考虑顺序，选出来的那m个人还需要全排列）

公式：

1、(C_m^n=frac{m!}{n! imes (m-n)!})

2、(C_m^n=C_m^{m-n})

3、(C_m^n=C_{m-1}^n+C_{m-1}^{n-1})

4、(C_m^{n+1}=frac{C_m^{n} imes (m-n)}{n+1})

5、(C_{m}^{0}+C_{m}^{1}+C_{m}^{2}+...+C_{m}^{m}=2^{m})

• 对于第二个公式应该很好理解，就是反选，方案数量自然是一样的。这体现的是它良好的对称性。

• 第三个公式平常用来递推。可以划分为子问题理解：为如果选第m个数，那么就是在n-1个数里面选择m-1个数，如果不选第m个数，就是在n-1个数里面选m个数。证明如下：

(∵C_{m}^{n}=frac{n!}{m!(n-m)!})

(∵C_{m}^{n-1}=frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!})

(∴C_{m}^{n-1}=frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!}=frac{(n-1)!(n-m)}{m!(n-m)!})

(∵C_{m-1}^{n-1}=frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}=frac{(n-1)!m}{m!(n-m)!})

(∴C_{m-1}^{n-1}+C_{m-1}^{n})

(=frac{(n-1)!m}{m!(n-m)!}+frac{(n-1)!(n-m)}{m!(n-m)!})

(=frac{n!}{m!(n-m)!})

(=C_m^n)

• 第四个公式很好证明（展开即可），这里介绍它的应用：（二项式展开）求((a+b)^n)展开式的各项系数。
  我们会想到杨辉三角进行预处理，但是也可以直接利用公式：
  (C_n^{m+1}/C_n^m=frac{n-m}{m+1})递推来解决。

有限的可重复元素的排列

假设现在有n个元素，对于第一类元素(n_1)，有sum1个重复，第二类元素(n_2)，有sum2个重复......第m类元素(n_m)，有summ个重复，总方案数为：
[frac{n!}{sum_1! imes sum_2! imes ... imes sum_m!}]

附上一张来自wikipedia的图帮助理解：

无限的可重复元素组合问题

上面讲解的是有限的可重复元素排列问题，下面讲无限的可重复元素排列问题（就是每个元素都可以用无限多次参与排列）

现在我们从m个元素中选择k个元素的，然后我们将这k个元素进行排序之后应该是这个样子：（设我们选择的数为编号为(a_i)

(1<=a_1<=a_2<=......<=a_k<=m)

那么现在我们将等于号消去：

(1<=a_1<=a_2+1<=a_3+2<=......<=a_k+k-1<=m+k-1)

现在我们设(b_i=a_i+i-1),那么很容易我们可以发现

(1<=b_1<b_2<b_3<......<b_k<=n-k+1)

那么现在问题就转换成了在([1,n+k-1])中选择k个不重复的元素了，那么根据我们的组合公式，自然是(C_{m+k-1}^k)了qwq

同理还有求编号在1~n的元素中取k个元素，使得他们的编号不相邻。公式是一样的，证明也是一样的。

二项式

这里有一张来自wikipedia的图，我觉得特别棒

二项式的系数公式：
((x+y)^n=C_n^0x^ny^0+C_n^1x^{n-1}y^1+......+C_n^nx^0y^n)
（可以看到，其实也可以用杨辉三角表示）
综合起来就是

((x+y)^n=sum_{k=0}^n imes C_n^k imes x^{n-k} imes y^k)

错排问题

错排就是诸如有1~n n个人，每个人按照1~n进行编号，现在要让他们排成一队，但是每个人不能在自己编号上的问题。

对于这个问题，luogu日报已经有专门的一期来进行详细的讲解~~
传送门——戳我~~

圆排

从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。

n个不同元素的m-圆排列个数N为：
(A_n^m/m=frac{n!}{(n-m) imes m})
特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为： (N=(N-1)!)

环上的染色问题

现在一个环被分成了n段，要求每一段上都涂上颜色。一共有k种不同的颜色，涂好之后两两相邻颜色不能相同。问有多少种涂色方案？

这个问题我们可以这样考虑：
第一种情况：如果我们把原先的环看作只有(n-1)段，进行涂色，那么就是子问题(A_{n-1})，而且因为现在两两相邻的一定颜色不同，所以这时候我们再添加一个的话就是乘上(m-2)；
第二种情况：我们把原先的环看作(n-2)段，，这样的话转换成了(A_{n-2})的子问题，然后我们随意将一段分为两段，这时候还差一段，在两个相同颜色中间插入一种颜色，自然是有(m-1)种选择方法。
递推公式整理如下：

(A_n=(m-2)A_{n-1}+(m-1)A_{n-2})

这是一个二阶常系数递推式，推导之后通项公式如下：

(A_n=(m-1)^n+(-1)^n imes (m-1))

例题参照：

NOIP2017 组合数问题 这个没什么好说的，就是杨辉三角

codeforces 991E 可重复元素的排列+搜索

HNOI2008 越狱
我们直接考虑不太方便，但是可以想到补集转换，算出来所有的方案数然后减去不合法的就很简单了qwq，之后就是快速幂的模板了qwq

nowcoder 选择颜色 环上的颜色选择问题，相邻要求不同色。

以上。。。蒟蒻做题少，欢迎各位dalao指教啦~~