排列组合简单证明

Posted 2021-03-25 yanxiujie

排列：

从(n)个人中选出(m)个人来排队，他的做法是(A_{n}^{m})
第一个位置可以放(n)个中的一个，第二个位置可以放(n-1)个中的一个......第(m)的位置可以放(n-m+1)个中的一个
所以可得：(A_{n}^{m}=frac{n!}{n-m!})

组合：

上面的问题我们可以分两步来看
1.选出(m)个人
2.这(m)个人排队
所以(A_{n}^{m}=X*A_{m}^{m})
这个X就是从(n)个人中选出(m)个人来的方案数
所以(X=C_{n}^{m}=frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=frac{n!}{m!(n-m)!})

组合数的性质最常见的两个是
(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m})
(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1})

区别：

排列是有序的就是说方案(2,1,4)和(1,4,2)是不同的
而组合是无序的即方案(1,2,4)和方案(4,2,1)是相同的

例：

求(1*2*3+2*3*4+......+8*9*10)

我们首先观察一下，我们的排列公式(A_{n}^{m})就是从(n)开始往前乘(m)个数所以我们可以得到在第一个加号之前的乘法的答案其实就是(A_{3}^{3})同理我们可以得到第二个加号之前的是(A_{4}^{3}).....一直可以算到最后一个加号之后是(A_{10}^{3})
根据我们推倒组合数的式子我们可以把(A_3^3)转化成(C_3^3A_3^3)同理后边的也全部可以转换
我们再把(A_3^3)提出括号里就是(C_3^3+C_4^3+......+C_{10}^3)
根据组合数的第二个性质我们可以合并前两项因为我们知道(C_3^3==C_4^4)所以直接换下来前两项就变成了(C_5^4)他又可以与后边的(C_5^3)合并一直合并直到最后是(A_3^3C_{11}^4)
再根据定义什么的算出来就好了

谢谢收看，祝身体健康！