浅浅地聊一下矩阵与线性映射及矩阵的特征值与特征向量

Posted 2020-09-30 我爱你，中国！中国加油，武汉加油！

都说矩阵其实就是线性映射，你明白不？反正一开始我是不明白的；

 

线性映射用矩阵表示：（很好明白的）

有两个线性空间，分别为V1与V2， V1的一组基表示为，V2的一组基表示为；（注意哦，维度可以不一样啊，反正就是线性空间啊），

1， 现在呢，有一个从V1到V2的映射F， 它可以把V1中的一组基都映射到线性空间V2中去，所以有：

                      

用矩阵可以表示为：

 

2，现在我们把在V1中有一个向量A，经过映射F变为了向量B，用公式表示为：

                                 

 

 

 

所以呢，坐标的映射表示为：

 

由上面的过程，我们看到了：可以把一个映射F用矩阵 表示；

由空间X映射到空间Y时，向量的坐标转换表示为：

所以呢，我们可以把矩阵看作是线性变换或线性映射；

（补充一下什么是线性映射？满足下面两个条件：   ）

 

矩阵的特征值与特征向量：

应该说是线性映射的特征值与特征向量，因为映射可以用矩阵表示，所以也可以说是矩阵的特征值与特征向量，当线性映射所在的表示为（100;010;001)的形式时，它们的特征值也特征向量相同；

1，用线性映射表示：

在空间V中的一个线性映射Ｆ，若在空间V的存在一个向量，满足下面：

　　　　　　则向量称为映射的特征向量，为映射的特征值；

 

 

２，用矩阵表示：

把上面的公式改改，把矩阵A表示映射，用坐标　　来表示向量，可以得到：

 

因为向量映射后结果为，所以，映射前后的线性空间是没有变化的，所以映射前后可以用同一组基表示，所以有：

最后得到：

 

 

 

特征值与特征向量的几个定理 ：

1.

2.

3.

4.

 

 

需要强调地是:对于一个N重根的特征值,它的特征向量的基础解系的个数是小于或等于N的,即上面说的几何重复度小于或等于代数重复度; 对于不是重根的特征值,只能对应一个特征向量的基础解系;(基础解系就是特征向量组成的线性空间的基啊);

举两个例子:  

               

上面两个矩阵中，左边的矩阵的特征值为二重根1，它的特向量的基础解系只有一个：（1,0);   右边矩阵的特征值为二重根1，它的特征向量的基础解系有两个：(1,0)和(0,1);

           

上面的矩阵中，左边的矩阵的特征值为1和2，特征值1对应的特征向量的基础解系为(1,0,0);      特征值2对应的特征向量的基础解系只有一个：(1,1,0);

                 右边的矩阵的特征值为1和2， 特征值1对应的特征向量的基础解系为(1,0,0);      特征值2对应的特征向量的基础解系有两个，分别为：（1，0，1）和（0，1，-1）；

（说明：在重跟的情况下，选择的基础解系不是唯一的，不同的基础解系是可以互相表示的， 在不同基础解系下表示的线性空间是唯一的；）

 

 

看看特征向量到底是什么？

对于一个映射，特征向量才是本质有用的，特征值的作用不大。一个特征值对应了一个特征向量族（因为可以乘以一个系数，可以它的个数是无穷的），而一个特征向量只能对应一个特征值；

在一个映射中，不同的特征值对应的特征向量组成的线性空间中的向量的方向（负也表示不变）不会发生变化，只是scale变了，缩放倍数即为特征值；

例如：对于不是非重根的特征值的特征向量只有一个，它组成的线性空间是一维的，在映射过程中，在它上面的向量的方向不变； 对于多个重根的特征值的特征向量可以有多个，所以它们组成的线性空间是多维的，在这个线性空间中的向量在映射过程中的方向也是不变的；