矩阵的特征值，特征向量，和特征根是啥？

Posted 2023-05-01

参考技术A

特征根：

特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。

 称为二阶齐次线性差分方程：  加权的特征方程。

特征向量：

A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。

令|A-λE|=0，求出λ值。

A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。

一旦找到两两互不相同的特征值λ，相应的特征向量可以通过求解方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。

当特征值出现重根时，如λ1=λ2，此时，特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0，v2为(A-λ2I)v2=v1，依次递推。

没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。

扩展资料：

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。

从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。

假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：

其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为：

但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）

考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：

其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。

特征根法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。例如 称为二阶齐次线性差分方程： 加权的特征方程。

参考资料：百度百科-特征根法 百度百科-特征向量

在 python 中查找特征值/向量的最快方法是啥？

【中文标题】在 python 中查找特征值/向量的最快方法是啥？

【英文标题】：whats the fastest way to find eigenvalues/vectors in python?在 python 中查找特征值/向量的最快方法是什么？

【发布时间】：2011-10-04 18:47:02

【问题描述】：

目前我正在使用 numpy 来完成这项工作。但是，由于我正在处理具有数千行/列的矩阵，后来这个数字将上升到数万，我想知道是否存在可以更快地执行这种计算的包？

【问题讨论】：

numpy 不能很好地扩展吗？我认为它是为这样的事情而设计的。这不是矢量化操作的重点吗？

数万不是很多，numpy会很快粉碎它。

【参考方案1】：

**如果您的矩阵是稀疏的，则使用 scipy.sparse 中的构造函数实例化您的矩阵，然后使用 spicy.sparse.linalg 中的类似特征向量/特征值方法.从性能的角度来看，这有两个优点：

您的矩阵由辣味.sparse 构造函数构建而成，与它的稀疏程度成正比。

用于稀疏矩阵（eigs、eigsh）的eigenvalue/eigenvector methods 接受可选参数k，它是您想要返回的特征向量/特征值对。几乎总是解释 >99% 的方差所需的数量远远少于列数，您可以事后验证；换句话说，您可以告诉方法不要计算并返回所有特征向量/特征值对——除了考虑方差所需的（通常）小子集之外，您不太可能需要其余部分。

改用 SciPy 中的线性代数库， scipy.linalg NumPy 的同名库。这两个库有 相同的名称并使用相同的方法名称。不过性能还是有区别的。 这种差异是由于 numpy.linalg 是一个 less 对类似 LAPACK 例程的忠实包装 为了便携性和便利性而牺牲一些性能（即， 遵守整个 NumPy 库的 NumPy 设计目标 应该在没有 Fortran 编译器的情况下构建）。 linalg 在 SciPy 上 另一方面是 LAPACK 上更完整的包装器，其中 使用 f2py。

选择适合您用例的函数；换句话说，不要使用功能超出您的需要。在 scipy.linalg 有几个函数可以计算特征值；这 差异不大，但通过仔细选择功能 要计算特征值，您应该会看到性能提升。为了 实例：

scipy.linalg.eig 返回 both 特征值和 特征向量 scipy.linalg.eigvals，只返回特征值。所以如果你只需要矩阵的特征值，那么不要使用linalg.eig，而是使用linalg.eigvals。 如果你有一个实值平方对称矩阵（等于它的转置）然后使用 scipy.linalg.eigsh

优化您的 Scipy 构建 准备您的 SciPy 构建环境 主要在 SciPy 的 setup.py 脚本中完成。也许 在性能方面最重要的选项是确定任何优化的 LAPACK 库，例如 ATLAS 或 Accelerate/vecLib 框架（OS X 只有？）以便 SciPy 可以检测到它们并针对它们进行构建。 根据您目前拥有的装备，优化您的 SciPy 构建然后重新安装可以为您提供可观的性能 增加。 SciPy 核心团队的其他说明是here。

这些函数是否适用于大型矩阵？

我应该是这样想的。这些是工业强度的矩阵分解方法，它们只是类似 Fortran LAPACK 例程的薄包装。

我已经使用 linalg 库中的大多数方法来分解矩阵，其中列数通常在 5 到 50 之间，并且行数通常超过 500,000。 SVD 和 eigenvalue 方法在处理这种大小的矩阵时似乎都没有任何问题。

使用 SciPy 库 linalg，您可以使用此库中的多种方法中的任何一种，通过一次调用来计算特征向量和特征值，eig 、eigvalsh 和 eigh。

>>> import numpy as NP
>>> from scipy import linalg as LA

>>> A = NP.random.randint(0, 10, 25).reshape(5, 5)
>>> A
    array([[9, 5, 4, 3, 7],
           [3, 3, 2, 9, 7],
           [6, 5, 3, 4, 0],
           [7, 3, 5, 5, 5],
           [2, 5, 4, 7, 8]])

>>> e_vals, e_vecs = LA.eig(A)

【讨论】：

在我的机器上，numpy 的 eigvals 实际上比 scipy 的快。

我在 40,000 x 40,000 对称稀疏矩阵上使用 scipy.sparse.linalg.eign.eigsh。我花了将近 30 分钟才找到 125 个最小的特征向量。所以我也想知道Python中最有效的特征向量求解器是什么。

最近在 Anaconda 中默认出现的 MKL 在 linalg 优化方面的速度是否一样快？ docs.anaconda.com/mkl-optimizations

【参考方案2】：

如果你的矩阵是稀疏的，你可以尝试使用scipy的稀疏特征值函数，应该会更快：

http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/sparse.linalg.html

您还可以查看专门的软件包，例如 SLEPc，它具有 python 绑定并且可以使用 mpi 并行进行计算：

http://code.google.com/p/slepc4py/