数学基础系列----矩阵矩阵的秩向量特征值与特征向量

Posted 2021-03-16 xiaoyh

一、矩阵

1、系数矩阵

前面学习了矩阵很多基础知识，那么遇到具体的线性方程组该怎么办呢？该怎么转换为矩阵来求解呢？如下图所示，A为系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。

　　

2、矩阵转置

简单来说就是矩阵的行元素和列元素互相调换一下。

　　

下面列出一些矩阵转置常用的公式

　　

这些都没有什么好说的，都比较好理解，要注意的是就是最后一个公式的前后的顺序是不同的。

3、对称矩阵

如果满足$A^{T}=A$，那么A就是对称矩阵

　　

4、逆矩阵

A为n阶方阵，如果说存在n阶方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），那么就称A、B互为逆矩阵，记作：B=A^-1

性质（前提矩阵可逆）：

　　

二、矩阵的秩

矩阵的秩很重要，对后面特征值，特征向量的理解很重要，要重点注意这个地方。

对于一个$S imes N$的矩阵：$A=egin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & cdots  & a_{1n} a_{21} & a_{22} & cdots  & a_{2n} cdots  & cdots  & cdots  & cdots a_{s1} & a_{s2} & cdots  & a_{sn}end{bmatrix}$

矩阵A的每一行可以看作一个N维向量：$alpha _{i}=(a_{i1},a_{i2},cdots ,a_{in}),i=1,2,cdots ,s$，所以$alpha _{1},alpha _{2},cdots ,alpha _{s}$称作A的行向量

矩阵A的每一列也可以看作一个S维向量：$eta _{j}=egin{bmatrix}a_{1j} a_{2j} vdots a_{ij}end{bmatrix},j=1,2,cdots ,n$，所以$eta _{1},eta _{2},cdots ,eta _{n}$称作A的列向量。

那么矩阵的秩到底表示什么呢？

比如说有一个矩阵$A=egin{bmatrix}1 & 1 & 3 &1 0 & 2&-1  & 4 0 & 0 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & 0end{bmatrix}$

矩阵A的行向量组为：$egin{matrix}alpha _{1}=(1,1,3,1) &alpha _{2}=(0,2,-1,4) alpha _{3}=(0,0,0,5) & alpha_{4}=(0,0,0,0)end{matrix}$

现在我们需要求这个行向量组的极大线性无关组，假设有$k_{1}alpha _{1}+k_{2}alpha _{2}+k_{3}alpha _{3}=0$。具体代入如下图所示

　　

解得$k_{1}=k_{2}=k_{3}=0$，即$alpha _{1},alpha _{2},alpha _{3}$线性无关。

由于矩阵里面含有一个零向量，所以这个零向量必然和矩阵里面其他向量线性相关，所以向量组：$alpha _{1},alpha _{2},alpha _{3},alpha _{4}$的秩为3。简单来说，矩阵的秩就是矩阵里面的所有向量最大的线性无关的数目。

对于列向量同理可得：$eta _{3}=frac{7}{2}eta _{1}-frac{1}{2}eta _{2}+0eta _{4}$，但$eta _{1},eta _{2},eta _{4}$线性无关，所以向量组：$eta _{1},eta _{2},eta _{3},eta _{4}$的秩为3，综上所述，即矩阵的行秩等于列秩。

那么矩阵的秩到底该怎么来理解呢？以下内容参考了知乎大神的理解：https://www.zhihu.com/question/21605094

可以对二维图形(实际上就是代表一个矩阵)进行旋转，比如用旋转矩阵：$egin{bmatrix}cos( heta )  &-sin ( heta ) sin ( heta ) & cos( heta )end{bmatrix}$去乘以二维图形代表的矩阵。

　　

变换后依然是二维的，所以旋转矩阵的秩为2

在假如说通过这样的矩阵$egin{bmatrix}1 & -1 1 & -1end{bmatrix}$来对图形进行旋转。

　　

变换后是一维的，所以这个旋转矩阵的秩为1

矩阵中最大不相关向量的个数就是秩了。

举个例子就很容易理解，大家排队买票。如果大家互相不认识，那就会一个排一个，非常有秩序。然而，如果突然来了一个与队伍前面的人认识的人，这个人又不自觉，非要插队。那后面的人肯定要有意见了，说你要是这样我前面还有认识的人呢，你插我也插，这样整个队伍就乱掉了，谁也买不成。

通过这个例子，可得以下结论：彼此不认识，那就不相关，就有秩序，问题就好解决；反之，彼此相关，就没有秩序，问题就不好解决。所以，数学家们定义，矩阵中的最大的不相关的向量的个数，就叫秩，可以理解为有秩序的程度。

再比如说我们家中有很多张照片（N），但是一家只有三口（R），所以我们就把R当做矩阵的秩。

　　

三、向量

1、向量的内积

设有n维向量：$x=egin{bmatrix}x_{1} x_{2} vdots x_{n}end{bmatrix}$，$y=egin{bmatrix}y_{1} y_{2} vdots y_{n}end{bmatrix}$

$[x,y]=x_{1} imes y_{1}+x_{2} imes y_{2}+cdots +x_{n} imes y_{n}$，此时我们就把$[x,y]$叫做向量的内积(也叫点乘，注意和外积(叉乘)的区别)。

性质：

　　

2、向量的长度

n维向量x的长度：$left | x ight |=sqrt{[x,x]}=sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}}geqslant 0$。特别的，当|x|=1时称为单位向量。

齐次性：$left | lambda x ight |=left | lambda   ight |cdot left | x ight |$。

三角不等式：$left | x+y ight |leqslant left | x ight |+left | y ight |$。

　　

3、向量的正交。

两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组。

若$alpha _{1},alpha _{2},cdots ,alpha _{r}$是两两正交的非零向量，则$alpha _{1},alpha _{2},cdots ,alpha _{r}$线性无关。

规范正交基，也叫标准正交基 

n维向量$e_{1},e _{2},cdots ,e_{r}$是向量空间$Vsubset R^{n}$中的向量。满足：

　　

则称$e_{1},e _{2},cdots ,e_{r}$是V的一个规范正交基。例如$e_{1}=egin{bmatrix}1 0 0 0end{bmatrix},e_{2}=egin{bmatrix}0 1 0 0end{bmatrix},e_{3}=egin{bmatrix}0 0 1 0end{bmatrix},e_{4}=egin{bmatrix}0 0 0 1end{bmatrix}$是$R^{4}$的一个规范正交基

四、特征值与特征向量

1、通俗理解

矩阵究竟做了什么？假如说让一个矩阵去乘以一个向量的话，那么矩阵对向量既可以做拉伸也可以做旋转，如下图所示

　　

我们先来理解为什么叫特征值和特征向量，比如说有如下式子：

　　

矩阵A当然是一个变换，然后这个变换的特殊之处是当它作用在特征向量  上的时候，  只发生了缩放变换，它的方向并没有改变，并没有旋转。就像 wikipedia 上经过了错切变换的蒙娜丽莎一样：

　　

这幅图片在水平方向没有改变， $egin{bmatrix}1 0end{bmatrix}$就是一个它的特征向量，对应的特征值是 λ = 1 。

再比如说在一次拳击比赛中， 拳击怎么赢？攻击的方向与力量，我们可以把方向当做是特征向量，在这个方向上用了多大的力量就是特征值。

　　

2、数学定义

对于给定矩阵A，寻找一个常数λ和非零向量X，使得向量x被矩阵A作用后所得的向量AX与原向量X平行，并且满足AX=λX，那么这个X就是代表的特征向量了，λ代表的就是特征值了。

　　

由所有的特征向量组成了特征空间

　　

3、特征向量的应用 

既然特征值表达了重要程度且和特征向量所对应，那么特征值大的就是主要信息了，基于这点我们就可以提取各种有价值的信息了。