「Nescafé26」 Freda的传呼机 树上倍增+图论

Posted 2020-09-29 Captain_Von

题目：

为了随时与rainbow快速交流，Freda制造了两部传呼机。Freda和rainbow所在的地方有N座房屋、M条双向光缆。每条光缆连接两座房屋，传呼机发出的信号只能沿着光缆传递，并且传呼机的信号从光缆的其中一端传递到另一端需要花费t单位时间。现在Freda要进行Q次试验，每次选取两座房屋，并想知道传呼机的信号在这两座房屋之间传递至少需要多长时间。Freda和rainbow简直弱爆了有木有T_T，请你帮帮他们吧……
N座房屋通过光缆一定是连通的，并且这M条光缆有以下三类连接情况：
A：光缆不形成环，也就是光缆仅有N-1条。
B：光缆只形成一个环，也就是光缆仅有N条。
C：每条光缆仅在一个环中

颂芬数据占10%，2<=N<=1000，N-1<=M<=1200。
A类数据占30%，M=N-1。
B类数据占50%，M=N。
C类数据占10%，M>N。
对于100%的数据，2<=N<=10000，N-1<=M<=12000，Q=10000，1<=x,y<=N，1<=t<32768。

 

分析：

（对于直接想要AC的人，可以直接忽略此部分）

可以看到：对于10%的数据，可以简简单单跑一个SPFA，（但一定要注意细节，严格按照模板来），下面给出10分的代码（通往AC的路是循序渐进的）：

View Code

 

剩下的能跑出树上倍增的，相信离成功也不远了。仔细看看题目中红色的字体，会发现实际上所有的环只可能有公共顶点，不可能有公共边，这样画出来就很像一个仙人掌（其实名称都不重要），那么我们该如何处理这样的一个个环呢？其实可以想到，我们以每一个公共顶点为树根，可以把多个环转化成一棵树，其中树枝长就是环中每个点到顶点的最短距离，但一定要分别记录每个点从两边到环顶的距离 l[i] 和 r[i]，因为转换成一棵树后，从树上看来似乎是每两个点之间的路径必过顶点，但实际上在环中两个点完全可以不通过顶点而相互到达，因此两个点若在一个环中（这里实现的时候用一个数组分别记录每个点所在的环的编号和环顶），就有：

dis[x][y]= min( l[x]+r[y] , l[y]+r[x] , abs(r[x]-r[y]) );//一左一右到环顶，一右一左到环顶，和不通过环顶

然后至于树上倍增，我们用fa[x][i]表示从x这个节点往上2^i步能到的节点，用dis[x][i]表示从x这个节点到fa[x][i]这个祖先的距离；

就有初始化（递推）：

fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]；//从上一个位置再走一步
dis[x][i]=dis[fa[x][i-1]][i-1]+dis[x][i-1];//走半截再走半截

 

 

 

于是此题就可以AC了：

 

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstring>
  4 #include <cmath>
  5 #include <algorithm>
  6 using namespace std;
  7 const int maxn=121000;
  8 struct point1
  9 {
 10     int to,nxt,w;
 11 }edge[maxn<<1];
 12 struct point2
 13 {
 14     int to,nxt,w;
 15 }edge2[maxn<<1];
 16 int n,m,Q,a,b,ww,ss=0,ttt=0,n_cir=0;
 17 int lop[maxn][4];//详见62~65行 
 18 int e[maxn][4],pre[maxn][3],bin[20],dfn[maxn],dep[maxn],head1[maxn],head2[maxn]; 
 19 /*pre[i][0/1],0为i前一个是谁，1为i前一条边长*/ 
 20 int dis[maxn][20],fa[maxn][20];
 21 
 22 void init()
 23 {
 24     bin[0]=1;
 25     for(int i=1;i<=18;i++)
 26         bin[i]=bin[i-1]<<1;
 27 }
 28 
 29 int cnt=0;
 30 void add(int u,int v,int wei)
 31 {
 32     edge[cnt].to=v;
 33     edge[cnt].nxt=head1[u];
 34     edge[cnt].w=wei;
 35     head1[u]=cnt++;
 36 }
 37 
 38 int ct=0;
 39 void ins(int u,int v,int wei)
 40 {
 41     edge2[ct].to=v;
 42     edge2[ct].nxt=head2[u];
 43     edge2[ct].w=wei;
 44     head2[u]=ct++;
 45     
 46 }
 47 
 48 void dfs(int x,int y,int fa)
 49 {
 50     ttt++;
 51     dfn[x]=ttt;
 52     for(int i=head1[x];~i;i=edge[i].nxt)
 53     {
 54         int v=edge[i].to;
 55         if(v==fa && i==(y^1)) continue;
 56         if(dfn[v]!=0 && dfn[v]<dfn[x])//找到一个环
 57         {
 58             int len=edge[i].w;
 59             n_cir++;
 60             for(int j=ss;pre[j][0]!=v;j--)
 61                 len+=pre[j][1];
 62             lop[x][0]=n_cir;//环的编号
 63             lop[x][1]=v;//环的顶点 
 64             lop[x][2]=edge[i].w;//从一边到顶点的距离 
 65             lop[x][3]=len-lop[x][2];//从另一边 
 66             ins(v,x,min(lop[x][2],lop[x][3]));//正反建图
 67             ins(x,v,min(lop[x][2],lop[x][3]));//按最短路径重新建图 
 68             for(int j=ss-1;pre[j][0]!=v;j--)
 69             {
 70                 int z=pre[j][0];
 71                 lop[z][0]=n_cir;
 72                 lop[z][1]=v;
 73                 lop[z][2]=lop[pre[j+1][0]][2]+pre[j+1][1];
 74                 lop[z][3]=len-lop[z][2];
 75                 ins(v,z,min(lop[z][2],lop[z][3]));
 76                 ins(z,v,min(lop[z][2],lop[z][3]));
 77             } 
 78         } 
 79         if(dfn[v])
 80             continue;
 81         pre[++ss][0]=v;
 82         pre[ss][1]=edge[i].w;
 83         dfs(v,i,x);
 84     }
 85     ss--;
 86 }
 87 
 88 void dfss(int x)
 89 {
 90     for(int i=1;i<=18;i++)
 91     {
 92         if(dep[x]<bin[i]) break;
 93         fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
 94         dis[x][i]=dis[fa[x][i-1]][i-1]+dis[x][i-1];
 95     }
 96     for(int i=head2[x];~i;i=edge2[i].nxt)
 97     {
 98         if(edge2[i].to!=fa[x][0])
 99         {
100             int v=edge2[i].to;
101             fa[v][0]=x;
102             dep[v]=dep[x]+1;//深度在待会lca要用 
103             dis[v][0]=edge2[i].w;
104             dfss(v);
105         }
106     }
107 }
108 
109 int lca(int x,int y)
110 {
111     int sum=0;
112     if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
113     int t=dep[x]-dep[y];
114     for(int i=0;i<=18;i++)
115         if(t&bin[i])//y在x下面，t的二进制在i那一位上有1 (保证要用2^i凑齐t)
116         {
117             sum+=dis[x][i];
118             x=fa[x][i];
119         }
120     for(int i=18;i>=0;i--)
121     {
122         if(fa[x][i]!=fa[y][i])
123         {
124             sum+=dis[x][i]+dis[y][i];
125             x=fa[x][i];
126             y=fa[y][i];
127         }
128     }
129     if(x==y) return sum;
130     if(lop[x][0]==lop[y][0] && lop[x][0]!=0)
131         sum+=min(min(lop[x][2]+lop[y][3],lop[y][2]+lop[x][3]),abs(lop[x][2]-lop[y][2]));
132     else
133         sum+=dis[x][0]+dis[y][0];
134     return sum;
135 }
136 
137 int main()
138 {
139     memset(head1,-1,sizeof(head1));
140     memset(head2,-1,sizeof(head2));
141     init();
142     cin>>n>>m>>Q;
143     for(int i=1;i<=m;i++)
144     {
145         cin>>a>>b>>ww;
146         add(a,b,ww);
147         add(b,a,ww);
148         e[i][1]=a;
149         e[i][2]=b;
150         e[i][3]=ww;
151     }
152     ss=1;
153     pre[1][0]=1;
154     pre[1][1]=0;
155     dfs(1,-1,0);//找环，并计算出每个点到环顶的最短路 
156     for(int i=1;i<=m;i++)
157     {
158         int aa=e[i][1];
159         int bb=e[i][2];
160         int cc=e[i][3];
161         if( (lop[aa][0]!=lop[bb][0] || !lop[aa][0] || !lop[bb][0]) && lop[aa][1]!=bb && lop[bb][1]!=aa)
162         {
163             ins(aa,bb,cc);
164             ins(bb,aa,cc);    
165         } 
166     } 
167     dfss(1);//倍增处理 
168     while(Q--)
169     {
170         cin>>a>>b;
171         cout<<lca(a,b)<<endl;
172     }
173     return 0;
174 }