TYVJ 2054 [Nescafé29]四叶草魔杖 最小生成树 状态压缩/背包DP

Posted 2021-01-05 potremz

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[Nescafé29]四叶草魔杖

题目限制

时间限制	内存限制	评测方式	题目来源
1000ms	131072KiB	标准比较器	Local

　

题目背景

陶醉在彩虹光芒笼罩的美景之中，探险队员们不知不觉已经穿过了七色虹，
到达了目的地，面前出现了一座城堡和小溪田园，城堡前的木牌上写着“Poetic Island”。
　
“这一定就是另外两位护法的所在地了……我们快进去吧！”
　
探险队员们快步进入了城堡，城堡大厅的羊毛沙发上坐着两个人。
　
“你们是Nescafe的护法吧？”
　
“是的哦~ 我们就是圣剑护法rainbow和魔杖护法freda~ 你们来这里做什么呢~”
　
“我们是来拜访圣主和四位护法的……”
　
“可是圣主applepi已经前往超自然之界的学校（Preternatural Kingdom University，简称PKU）修炼魔法了，
要想见到他，必须开启Nescafe之塔与超自然之界的通道。但是圣主规定，开启通道的方法不能告诉任何外人。
我只能提示你们，开启通道的钥匙就与四位护法有关T_T”
　
探险队员环视四周，突然，其中一人的目光停留在了魔杖之上。
“hoho~ 魔杖！传说中开启异时空通道的钥匙不就叫四叶草魔杖吗？
四叶草有力量、信心、希望和幸运四片叶子，护法恰好有神刀、飞箭、圣剑、魔杖四位！aha~我找到答案了！”
　
“好吧，那我们就满足你们的愿望~”
　

题目描述

魔杖护法Freda融合了四件武器，于是魔杖顶端缓缓地生出了一棵四叶草，四片叶子幻发着淡淡的七色光。
圣剑护法rainbow取出了一个圆盘，圆盘上镶嵌着 $ N $ 颗宝石，编号为 $ 0~N-1 $ 。
第i颗宝石的能量是 $ A_i $ 。
如果 $ A_i>0 $ ，表示这颗宝石能量过高，需要把Ai的能量传给其它宝石；
如果 $ A_i<0 $ ，表示这颗宝石的能量过低，需要从其它宝石处获取 $ -A_i $ 的能量。
保证 $ ∑A_i =0 $ 。只有当所有宝石的能量均相同时，把四叶草魔杖插入圆盘中央，才能开启超自然之界的通道。
不过，只有 $ M $ 对宝石之间可以互相传递能量，其中第 $ i $ 对宝石之间无论传递多少能量，都要花费 $ T_i $ 的代价。
探险队员们想知道，最少需要花费多少代价才能使所有宝石的能量都相同？
　

输入格式

第一行两个整数 $ N、M $ 。
第二行 $ N $ 个整数 $ A_i $ 。
接下来 $ M $ 行每行三个整数 $ p_i,q_i,T_i $ ，表示在编号为 $ p_i $ 和 $ q_i $ 的宝石之间传递能量需要花费 $ T_i $ 的代价。
数据保证每对 $ p_i、q_i $ 最多出现一次。
　

输出格式

输出一个整数表示答案。无解输出Impossible。
　

提示

对于 $ 50 $ % 的数据，$ 2 le N le 8 $ 。
对于 $ 100 $ % 的数据，$ 2 le N le 16，0 le M le N*(N-1)/2，0 le p_i,q_i<N，-1000 le A_i le 1000，0 le T_i le 1000，∑A_i=0 $ 。
　

样例数据

输入样例

 3 3
 50 -20 -30
 0 1 10
 1 2 20
 0 2 100

输出样例

 30

　

题解

• 每个 $ sum A_i =0 $ 的子图内传递能量的最小代价是其最小生成树

• 最终整个图可能分成若干块 $ sum a_i =0 $ 的子图分别传递

• 以 $ sum a_i =0 $ 的子图为物品做二进制集合背包的状态压缩 $ DP $
  　

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define inf 1000000007
struct edge{ int u,v,w; }e[205];
int n,m,a[20],f[1<<20],g[1<<20],fa[20],tot;
bool vis[20];
bool cmp(edge x,edge y){ return x.w<y.w; }
int calc(int x){
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) if(x&(1<<i-1)) res+=a[i];
    return res;
}
int find(int x){
    if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
int kruskal(int x){
    int num=0,res=0,tmp=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;++i){
        fa[i]=i;
        if(x&(1<<(i-1))) vis[i]=1,++num;
    }
    for(int fu,fv,i=1;i<=m;++i){
        if(!vis[e[i].u]||!vis[e[i].v]) continue;
        fu=find(e[i].u); fv=find(e[i].v);
        if(fu==fv) continue;
        fa[fu]=fv;
        res+=e[i].w;
        ++tmp; if(tot==num-1) break;
    }
    if(tmp!=num-1) return inf;
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d %d %d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
        ++e[i].u; ++e[i].v;
    }
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=(1<<n)-1;++i)
        if(calc(i)==0){
            int tmp=kruskal(i);
            if(tmp!=inf) g[++tot]=i; f[i]=tmp;
        }
    for(int i=0;i<=(1<<n)-1;++i)
        for(int j=1;j<=tot;++j)
            if((i&g[j])==0) f[i|g[j]]=min(f[i|g[j]],f[i]+f[g[j]]);
    if(f[(1<<n)-1]==inf) puts("Impossible");
    else printf("%d",f[(1<<n)-1]);
    return 0;
}