「Nescafé26」 Freda的传呼机 最短路径+书上倍增

Posted 2020-09-29 Captain_Von

题目：

为了随时与rainbow快速交流，Freda制造了两部传呼机。Freda和rainbow所在的地方有N座房屋、M条双向光缆。每条光缆连接两座房屋，传呼机发出的信号只能沿着光缆传递，并且传呼机的信号从光缆的其中一端传递到另一端需要花费t单位时间。现在Freda要进行Q次试验，每次选取两座房屋，并想知道传呼机的信号在这两座房屋之间传递至少需要多长时间。Freda和rainbow简直弱爆了有木有T_T，请你帮帮他们吧……
N座房屋通过光缆一定是连通的，并且这M条光缆有以下三类连接情况：
A：光缆不形成环，也就是光缆仅有N-1条。
B：光缆只形成一个环，也就是光缆仅有N条。
C：每条光缆仅在一个环中

颂芬数据占10%，2<=N<=1000，N-1<=M<=1200。
A类数据占30%，M=N-1。
B类数据占50%，M=N。
C类数据占10%，M>N。
对于100%的数据，2<=N<=10000，N-1<=M<=12000，Q=10000，1<=x,y<=N，1<=t<32768。

 

分析：

（对于直接想要AC的人，可以直接忽略此部分）

可以看到：对于10%的数据，可以简简单单跑一个SPFA，（但一定要注意细节，严格按照模板来），下面给出10分的代码（通往AC的路是循序渐进的）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
struct point
{
    int to,nxt,w;
}edge[52010];
int n,m,Q,a,b,ww,cnt=0;
int head[52010],vis[52010];
long long dis[22010];

void init()
{
    memset(head,0,sizeof(head));
    cnt=0;
}

void add(int u,int v,int wei)
{
    cnt++;
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    edge[cnt].w=wei;
    head[u]=cnt;
}

void spfa(int st)
{
    int fron=0,tail=1;
    int q[120000];
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
    vis[st]=1;
    dis[st]=0;
    q[1]=st;
    do
    {
        fron++;
        int tt=q[fron];
        vis[tt]=0;
        for(int i=head[tt];i;i=edge[i].nxt)
        {
            int v=edge[i].to;
            if(dis[v]>dis[tt]+edge[i].w) 
            {
                dis[v]=dis[tt]+edge[i].w;
                if(!vis[v])
                {
                    vis[v]=1;
                    tail++;
                    q[tail]=v; 
                }                
            }
        }    
    }while(fron!=tail);
}


int main()
{
    cin>>n>>m>>Q;
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a>>b>>ww;
        add(a,b,ww);
        add(b,a,ww);
    }
        while(Q--)
        {
            cin>>a>>b;
            spfa(a);
            cout<<dis[b]<<endl;
        }
    return 0;
}

View Code

 

剩下的能跑出树上倍增的，相信离成功也不远了。仔细看看题目中红色的字体，会发现实际上所有的环只可能有公共顶点，不可能有公共边，这样画出来就很像一个仙人掌（其实名称都不重要），那么我们该如何处理这样的一个个环呢？其实可以想到，我们以每一个公共顶点为树根，可以把多个环转化成一棵树，其中树枝长就是环中每个点到顶点的最短距离，但一定要分别记录每个点从两边到环顶的距离 l[i] 和 r[i]，因为转换成一棵树后，从树上看来似乎是每两个点之间的路径必过顶点，但实际上在环中两个点完全可以不通过顶点而相互到达，因此两个点若在一个环中（这里实现的时候用一个数组分别记录每个点所在的环的编号和环顶），就有：

dis[x][y]= min( l[x]+r[y] , l[y]+r[x] , abs(r[x]-r[y]) );//一左一右到环顶，一右一左到环顶，和不通过环顶

然后至于树上倍增，我们用fa[x][i]表示从x这个节点往上2^i步能到的节点，用dis[x][i]表示从x这个节点到fa[x][i]这个祖先的距离；

就有初始化（递推）：

fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]；//从上一个位置再走一步
dis[x][i]=dis[fa[x][i-1]][i-1]+dis[x][i-1];//走半截再走半截

 

 

 

于是此题就可以AC了：

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=121000;
struct point1
{
    int to,nxt,w;
}edge[maxn<<1];
struct point2
{
    int to,nxt,w;
}edge2[maxn<<1];
int n,m,Q,a,b,ww,ss=0,ttt=0,n_cir=0;
int lop[maxn][4];//详见62~65行 
int e[maxn][4],pre[maxn][3],bin[20],dfn[maxn],dep[maxn],head1[maxn],head2[maxn]; 
/*pre[i][0/1],0为i前一个是谁，1为i前一条边长*/ 
int dis[maxn][20],fa[maxn][20];

void init()
{
    bin[0]=1;
    for(int i=1;i<=18;i++)
        bin[i]=bin[i-1]<<1;
}

int cnt=0;
void add(int u,int v,int wei)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].nxt=head1[u];
    edge[cnt].w=wei;
    head1[u]=cnt++;
}

int ct=0;
void ins(int u,int v,int wei)
{
    edge2[ct].to=v;
    edge2[ct].nxt=head2[u];
    edge2[ct].w=wei;
    head2[u]=ct++;
    
}

void dfs(int x,int y,int fa)
{
    ttt++;
    dfn[x]=ttt;
    for(int i=head1[x];~i;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa && i==(y^1)) continue;
        if(dfn[v]!=0 && dfn[v]<dfn[x])//找到一个环
        {
            int len=edge[i].w;
            n_cir++;
            for(int j=ss;pre[j][0]!=v;j--)
                len+=pre[j][1];
            lop[x][0]=n_cir;//环的编号
            lop[x][1]=v;//环的顶点 
            lop[x][2]=edge[i].w;//从一边到顶点的距离 
            lop[x][3]=len-lop[x][2];//从另一边 
            ins(v,x,min(lop[x][2],lop[x][3]));//正反建图
            ins(x,v,min(lop[x][2],lop[x][3]));//按最短路径重新建图 
            for(int j=ss-1;pre[j][0]!=v;j--)
            {
                int z=pre[j][0];
                lop[z][0]=n_cir;
                lop[z][1]=v;
                lop[z][2]=lop[pre[j+1][0]][2]+pre[j+1][1];
                lop[z][3]=len-lop[z][2];
                ins(v,z,min(lop[z][2],lop[z][3]));
                ins(z,v,min(lop[z][2],lop[z][3]));
            } 
        } 
        if(dfn[v])
            continue;
        pre[++ss][0]=v;
        pre[ss][1]=edge[i].w;
        dfs(v,i,x);
    }
    ss--;
}

void dfss(int x)
{
    for(int i=1;i<=18;i++)
    {
        if(dep[x]<bin[i]) break;
        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
        dis[x][i]=dis[fa[x][i-1]][i-1]+dis[x][i-1];
    }
    for(int i=head2[x];~i;i=edge2[i].nxt)
    {
        if(edge2[i].to!=fa[x][0])
        {
            int v=edge2[i].to;
            fa[v][0]=x;
            dep[v]=dep[x]+1;//深度在待会lca要用 
            dis[v][0]=edge2[i].w;
            dfss(v);
        }
    }
}

int lca(int x,int y)
{
    int sum=0;
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int t=dep[x]-dep[y];
    for(int i=0;i<=18;i++)
        if(t&bin[i])//y在x下面，t的二进制在i那一位上有1 (保证要用2^i凑齐t)
        {
            sum+=dis[x][i];
            x=fa[x][i];
        }
    for(int i=18;i>=0;i--)
    {
        if(fa[x][i]!=fa[y][i])
        {
            sum+=dis[x][i]+dis[y][i];
            x=fa[x][i];
            y=fa[y][i];
        }
    }
    if(x==y) return sum;
    if(lop[x][0]==lop[y][0] && lop[x][0]!=0)
        sum+=min(min(lop[x][2]+lop[y][3],lop[y][2]+lop[x][3]),abs(lop[x][2]-lop[y][2]));
    else
        sum+=dis[x][0]+dis[y][0];
    return sum;
}

int main()
{
    memset(head1,-1,sizeof(head1));
    memset(head2,-1,sizeof(head2));
    init();
    cin>>n>>m>>Q;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a>>b>>ww;
        add(a,b,ww);
        add(b,a,ww);
        e[i][1]=a;
        e[i][2]=b;
        e[i][3]=ww;
    }
    ss=1;
    pre[1][0]=1;
    pre[1][1]=0;
    dfs(1,-1,0);//找环，并计算出每个点到环顶的最短路 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int aa=e[i][1];
        int bb=e[i][2];
        int cc=e[i][3];
        if( (lop[aa][0]!=lop[bb][0] || !lop[aa][0] || !lop[bb][0]) && lop[aa][1]!=bb && lop[bb][1]!=aa)
        {
            ins(aa,bb,cc);
            ins(bb,aa,cc);    
        } 
    } 
    dfss(1);//倍增处理 
    while(Q--)
    {
        cin>>a>>b;
        cout<<lca(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}