矩阵变换：沿任意轴旋转及其推导

Posted 2020-09-28 alps_01

http://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/8773996

 

1. 2D中绕原点旋转

设基向量p,q和r分别是朝向+x,+y和+z方向的单位向量。

旋转角度为θ，基向量p,q绕原点旋转，得到新的基向量p`和q`

即旋转矩阵R(θ)为

 

2. 3d中绕坐标轴旋转

01. 绕x轴旋转，基向量q和r旋转θ，得到新的基向量q`和r`

即旋转矩阵Rx(θ)为：

02. 绕y轴旋转，基向量p和r旋转θ，得到新的基向量p`和r`

即旋转矩阵Ry(θ)为：

 

03. 绕z轴旋转，基向量p和q旋转θ，得到新的基向量p`和q`

即旋转矩阵Rz(θ)为：

 

3. 绕任意轴旋转

这里不考虑平移，所以是过原点的任意轴。

任意轴用单位向量n表示，绕n旋转θ角度的矩阵表示为R(n,θ)，v`是向量v绕轴n旋转后的向量

v` = VR(n,θ)

我们的目标是用v,n和θ来表示v`，具体步骤如下：

将v分解为平行于n的分向量v||和垂直于n的分向量v⊥。v`⊥是v`垂直于n的分向量。

01.根据向量投影公式有

02.根据v||算出v⊥,w是v⊥与n叉剩的结果

03.根据w算出v`⊥

04.最后算出v`

 

05.现在已经得到了v`与v,n和θ的关系公式，用它来计算变换后的基向量并构造矩阵，基向量p`为

06.其余基向量类推，这里纠正上式中列向量的写法

07.合并为矩阵后：

 

更多内容参见：3d数学基础