如何只翻转变换矩阵的一个轴？

Posted 2023-02-16

【中文标题】如何只翻转变换矩阵的一个轴？

【英文标题】：How to flip only one axis of transformation matrix?

【发布时间】：2016-06-29 10:16:38

【问题描述】：

我有一个 4x4 变换矩阵。但是，在尝试转换后，我注意到 Y 轴的移动 和 旋转方向相反。其余的都是正确的。

我从其他一些 API 获得了这个矩阵，所以可能是坐标系的差异。那么，如何翻转变换矩阵的轴呢？

如果只有平移，我可以在 Y 平移上添加减号，但我不知道只有一个轴的相反旋转，因为所有旋转都表示在同一个 3x3 区域中。我认为可能有某种方式甚至可以同时影响平移和旋转。 （真正的翻转轴）

【参考方案1】：

编辑：我很确定您正在寻找的操作是在保持 Z-up 或 Y-up 的同时更改坐标系。在这种情况下，请尝试将矩阵的第二列（或行）的所有元素设置为逆矩阵。

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这个问题对 Math StackExchange 来说会更好。首先，a really helpful read on rotation matrices。

第一个问题是轮换顺序的问题。我将假设 XYZ 旋转顺序。我们知道每个轴的旋转矩阵如下：

给定一个从相同旋转顺序导出的矩阵，得到的矩阵如下，其中 alpha 是 X 角，beta 是 Y 角，而 gamma 是 Z 角：

您可以从此矩阵导出每个轴角的各个分量。例如，您可以使用一些逆触发从-sin(beta) 导出 Y 角。给定 beta，您可以从 cos(beta)sin(alpha) 派生 alpha。您还可以从 cos(beta)sin(gamma) 导出 gamma。请注意，矩阵中的相同数字可以表示多个值（例如sin(0)=0 和sin(180)=0）。

现在您已经了解了 alpha、beta 和 gamma，您可以反转 beta 并重新制作旋转矩阵。

很有可能有更好的方法使用四元数来做到这一点，但您应该向 Math StackExchange 询问这些与语言无关的问题。

【参考方案2】：

更简短的答案：如果您不注意框架方向，您的管道中的许多事情可能会遇到糟糕的一天。原因是“平价”，又名“框架方向”，又名“right-handedness”（或很少使用左撇子）。大多数协同工作的 3D 几何工具和库通常隐含地假设所有正在运行的坐标系都是右手的（或至少是一致的）。在坐标系中仅反转一个轴的方向会将其方向从右手更改为左手，反之亦然。

所以，建议您检查和尝试解决您的问题：

检查您从 API 获得的帧是否是右手的。你这样做 通过计算 4x4 变换矩阵的 3x3 旋转部分的行列式：它必须是 +1 或非常接近它。

如果是 -1，则如果它的轴翻转一个，即更改 3x3 旋转的列之一的符号。

请注意：我说“列”是因为我假设您通过乘以 Q * x 将变换 Q 应用于点 x，x 是一个 4x1 列向量，最后一个分量等于 1。如果使用行向量左乘 Q，则需要翻转一行。

如果该行列式是 +1，那么您在其他地方就有错误。