如何使用 3D 中的变换矩阵围绕 Z 轴旋转？

Posted 2023-02-16

【中文标题】如何使用 3D 中的变换矩阵围绕 Z 轴旋转？

【英文标题】：How to rotate around Z axis using transformation matrix in 3D?

【发布时间】：2016-07-01 07:35:31

【问题描述】：

在 Lua 中，我设置了一个单位矩阵：

local ident_matrix = 
 1,0,0,0,
 0,1,0,0,
 0,0,1,0,
 0,0,0,1,

然后将其更新为包含 x=100、y=0、z=0 处的点：

ident_matrix = 
 100,0,0,0,
 0,0,0,0,
 0,0,0,0,
 0,0,0,1,

然后我将旋转值定义为 90 度的弧度：

local r = math.rad(90)

由此我创建了一个 Z 轴旋转矩阵：

local rotate_matrix = 
 math.cos(r),math.sin(r),0,0,
 -math.sin(r),math.cos(r),0,0,
 0,0,1,0,
 0,0,0,1,

然后从这里使用矩阵乘法将 Z 轴旋转矩阵应用于 100,0,0 点：

local function multiply( aMatrix, bMatrix )
    if #aMatrix[1] ~= #bMatrix then       -- inner matrix-dimensions must agree
        return nil      
    end 

    local empty = newEmptyMatrix()

    for aRow = 1, #aMatrix do
        for bCol = 1, #bMatrix[1] do
            local sum = empty[aRow][bCol]
            for bRow = 1, #bMatrix do
                sum = sum + aMatrix[aRow][bRow] * bMatrix[bRow][bCol]
            end
            empty[aRow][bCol] = sum
        end
    end

    return empty
end

local rotated = multiply( rotate_matrix, ident_matrix )

矩阵乘法取自 RosettaCode.org： https://rosettacode.org/wiki/Matrix_multiplication#Lua

我期待rotated 矩阵输出与以下内容相同：

local expected = 
  0, 0, 0, 0 ,
  0, 100, 0, 0 ,
  0, 0, 0, 0 ,
  0, 0, 0, 0 ,

或者，如果使用左手 (?) 计算，Y 值可能是 -100。 我最终得到的是：

  0, 100, 0, 0 ,
  0, 0, 0, 0 ,
  0, 0, 0, 0 ,
  0, 0, 0, 1 ,

谁能告诉我我做错了什么并纠正我的代码？

【问题讨论】：

为什么使用 4x4-matrix 来存储 3D 空间中的点（而不是 1x3 向量）？

老实说，我不确定。我认为最简单的成功途径是确保我所有的矩阵都具有相同的维度——尽管我知道 A 的行必须等于 B 的列。

谢谢！我已将身份矩阵更改为一行四个单元格，一切正常。 #史诗。

【参考方案1】：

正如@egor-skriptunoff 的评论所暗示的那样......

在 Lua 中，我设置了一个单位矩阵：

local ident_matrix = 
 1,1,1,1,

然后将其更新为包含 x=100、y=0、z=0 处的点：

ident_matrix = 
 100,0,0,1,

然后我将旋转值定义为 90 度的弧度：

local r = math.rad(90)

由此我创建了一个 Z 轴旋转矩阵：

local rotate_matrix = 
 math.cos(r),math.sin(r),0,0,
 -math.sin(r),math.cos(r),0,0,
 0,0,1,0,
 0,0,0,1,

然后从这里使用矩阵乘法将 Z 轴旋转矩阵应用于 100,0,0 点：

local function multiply( aMatrix, bMatrix )
    if #aMatrix[1] ~= #bMatrix then       -- inner matrix-dimensions must agree
        return nil      
    end 

    local empty = newEmptyMatrix()

    for aRow = 1, #aMatrix do
        for bCol = 1, #bMatrix[1] do
            local sum = empty[aRow][bCol]
            for bRow = 1, #bMatrix do
                sum = sum + aMatrix[aRow][bRow] * bMatrix[bRow][bCol]
            end
            empty[aRow][bCol] = sum
        end
    end

    return empty
end

local rotated = multiply( rotate_matrix, ident_matrix )

矩阵乘法取自 RosettaCode.org： https://rosettacode.org/wiki/Matrix_multiplication#Lua

现在，我得到了我的预期：

local expected = 
  0, 100, 0, 0 ,