状压DP NOI2001 炮兵阵地

Posted 2020-09-20 dancer16

 

司令部的将军们打算在N × M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N × M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地(用"H"表示)，也可能是平原(用"P"表示)，如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队(山地上不能够部署炮兵部队)；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示：

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。 现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下(保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内)，在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。
　

输入描述 Input Description

第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M；
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符(‘P‘或者‘H‘)，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N ≤ 100, M ≤ 10。

输出描述 Output Description

仅一行，包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

样例输入 Sample Input

5 4
phpP
PPHH
PPPP
PHPP
PHHP

样例输出 Sample Output

6

这是道状压DP经典老题

令每行为1代表放炮，为0则不放

我们可以发现只有前两行的状态和当前这一行的地形会对决策产生影响

所以状压DP前两行状态，DP[i][j][k]表示现在处理第i行，且第i行状态为j,第i-1行状态为k的最大摆放数

易得DP[i][j][k]=max{DP[i-1][k][l]+第i行状态为j时的摆放数}对于l暴力枚举所有可行状态即可（不用考虑l与i-2行的地形或k是否相容!,因为不相容DP[i-1][k][l]=-1）只要判断j,k,l不冲突即可

但是我们又发现DP[i][j][k]的空间为n*（2^m）*(2^m)

开不下！

怎么办呢，我们发现每一行即使是空行，状态数也不会太多

所以先生成所有状态放入一个数组里，然后将上文j,k替换为对应状态在此数组里的编号。另外，对于求解整数x二进制表达中有几个1的问题，有一个小优化——lowbit；详见代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std; 
#define lowbit(x) x&(-x)
int f[205][205][205],sta[205],sum[120005],g[205];
inline bool ok(int x)
{
    if(x&(x<<1)) return 0;
    if(x&(x<<2)) return 0;
    return 1;
}
inline int Num(int x)
{
    int ans=0;
    for(;x;x-=lowbit(x),ans++);
    return ans;
}
inline bool poss(int l,int r)
{
    if(sta[l]&sta[r]) return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    int n,m;
    memset(f,255,sizeof(f)); 
    //这样就把f初始化-1了，诡异 
    scanf("%d %d",&n,&m);
    char char_[11];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {    
        scanf("%s",char_);
        for(int j=0;j<m;j++)
        if(char_[j]==‘H‘)
        g[i]|=1<<j;
    }
    /*
        f[i][j][k]表示当前在第i行;第i行状态为j第i-1行状态为k时的方案总数
        f[i][j][k]=max(f[i-1][k][l]+sum[j])
        这里的j,k不是位压后的状态，之前把可行的状态放入sta数组中，j表示第i行的状态为sta[j];
        sum[j]表示第i行状态为j时的最多数量 
    */     
    int tot=0;
    for(int i=0;i<=(1<<m)-1;i++)
    {
        /*
              生成每种放置状态的炮数
        */ 
        if(ok(i))
        {
            sta[++tot]=i;
            sum[i]=Num(i);
        }
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)//预处理出第一行的状态 
        if(!(g[1]&sta[i]))
        f[1][i][1]=sum[sta[i]];//sta[1]=0嘛（跟据定义及上文）
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        if(!(g[i]&sta[j]))
        {
            for(int k=1;k<=tot;k++)
            if(poss(j,k))
            {
                for(int l=1;l<=tot;l++)
                if(poss(l,j)&&f[i-1][k][l]!=-1)
                f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][k][l]+sum[sta[j]]);    
            }    
        }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        for(int j=1;j<=tot;j++)
            ans=max(ans,f[n][i][j]);
    printf("%d\n",ans);                
    return 0;     
}