（状压dp）NOI 2001（POJ 1185） 炮兵阵地

Posted 2020-09-28 惜取少年时

司令部的将军们打算在N*M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用"H" 表示），也可能是平原（用"P"表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示： 

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。 
现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。 

Input

第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M； 
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符(‘P‘或者‘H‘)，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100；M <= 10。

Output

仅一行，包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

Sample Input

5 4
phpP
PPHH
PPPP
PHPP
PHHP

Sample Output

6

这两天室友和几个同系的同学都去参加了北大ACM暑期学校，借着这个光，我也跟着看北大老师的ppt和做相应题目学习了一个。

其实这道题本身对于我还是有些挑战性的，看了ppt中讲解的思路，就豁然开朗了。

用dp[i][j][k]记录第i行状态为j，第i-1行状态为k的最大炮兵部队摆放个数。

dp[i][j][k] = max{dp[i-1][k][m], m = 0...1023} + Num(j), 

在不优化时一行的状态数有2^10=1024个，可是注意到其中许多是显然不符合题意的。故需要预处理一下，将不符合的直接去掉，通过简单的DFS就可以得出总共恰好有60种情况。（注意一行什么都不填也是一种）这是本题非常重要的突破点，通过这个时间复杂度就降了下来。

接下来还需要对第一行的情况特殊处理一下，然后就依照上述状态转移方程进行下去就可以了。

（NOI题目ac数++ ~~）

  1 #include <iostream>
  2 #include <string>
  3 #include <algorithm>
  4 #include <cstring>
  5 #include <cstdio>
  6 #include <cmath>
  7 #include <queue>
  8 #include <set>
  9 #include <map>
 10 #include <list>
 11 #include <vector>
 12 #include <stack>
 13 #define mp make_pair
 14 //#define P make_pair
 15 #define MIN(a,b) (a>b?b:a)
 16 //#define MAX(a,b) (a>b?a:b)
 17 typedef long long ll;
 18 typedef unsigned long long ull;
 19 const int MAX=110;
 20 const int INF=1e8+5;
 21 using namespace std;
 22 //const int MOD=1e9+7;
 23 typedef pair<ll,int> pii;
 24 const double eps=0.00000001;
 25 //map<int,int>id_code,id_num;
 26 int id_code[70],id_num[70];
 27 int cnt,ge;
 28 void dfs(int code,int lo,int num)
 29 {
 30     for(int i=lo+3;i<10;i++)
 31     {
 32         dfs(code|(1<<i),i,num+1);
 33     }
 34     id_num[cnt]=num;
 35     id_code[cnt++]=code;
 36 }
 37 int dp[MAX][70][70];
 38 int n,m;
 39 char tem[15];
 40 int code;
 41 int an;
 42 bool check(int x,int y)//摆法x和地形y是否冲突
 43 {
 44     int legal=x&y;//摆上且符合地形的部分
 45     int illegal=x^legal;//摆上且不符合地形的部分
 46     if(illegal)
 47         return false;
 48     return true;
 49 }
 50 int main()
 51 {
 52     for(int i=0;i<10;i++)
 53         dfs(1<<i,i,1);
 54     memset(dp,0,sizeof(dp));
 55     id_num[cnt]=0;
 56     id_code[cnt++]=0;
 57     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
 58     {
 59         code=0;
 60         an=0;
 61         scanf("%s",tem);
 62         for(int j=0;j<m;j++)
 63             if(tem[j]==‘P‘)
 64                 code|=(1<<j);
 65         for(int r=0;r<cnt;r++)//特殊处理第一行
 66         {
 67             if(check(id_code[r],code))//这一行可以这么摆，与地形不冲突
 68             {
 69                 for(int p=0;p<cnt;p++)
 70                 {
 71                     if(id_code[r]&id_code[p])
 72                         continue;
 73                     dp[0][r][p]=id_num[r];//第一行的炮兵最多个数至于这一行怎么摆有关
 74                 }
 75             }
 76         }
 77         for(int i=1;i<n;i++)
 78         {
 79             code=0;
 80             scanf("%s",tem);
 81             for(int j=0;j<m;j++)
 82                 if(tem[j]==‘P‘)
 83                     code|=(1<<j);
 84             for(int r=0;r<cnt;r++)
 85             {
 86                 if(check(id_code[r],code))//这一行可以这么摆，与地形不冲突
 87                 {
 88                     for(int p=0;p<cnt;p++)
 89                         for(int q=0;q<cnt;q++)//前两行状态
 90                         {
 91                             if((id_code[p]&id_code[q])||(id_code[r]&id_code[p])||(id_code[r]&id_code[q]))//冲突则
 92                                 continue;
 93                             dp[i][r][p]=max(dp[i][r][p],dp[i-1][p][q]+id_num[r]);
 94                         }
 95                 }
 96             }
 97         }
 98         for(int i=0;i<cnt;i++)
 99             for(int j=0;j<cnt;j++)
100                 an=max(an,dp[n-1][i][j]);
101         printf("%d\n",an);
102     }
103     return 0;
104 }