[BZOJ]4197: [Noi2015]寿司晚宴

Posted 2020-09-16 ditoly

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Description

　　为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

　　在晚宴上,主办方为大家提供了 n?1 种不同的寿司，编号 1,2,3,…,n?1，其中第 i 种寿司的美味度为 i+1 （即寿司的美味度为从 2 到 n）。

　　现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 x 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 y 的寿司，而 x 与 y 不互质。

　　现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 p 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

Input

　　输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,p，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种寿司，最终和谐的方案数要对 p 取模。

Output

　　输出一行包含 1 个整数，表示所求的方案模 p 的结果。

Sample Input

　　3 10000

Sample Output

　　9

HINT

　　2≤n≤500

　　0<p≤1000000000

Solution

　　状压DP，f[i][x][y]表示前i个数，第一个人选的数中含有的质因数集合为x，第二个人为y的方案数，注意到一个数最多只会含有一个超过$\sqrt{n}$的质因子，我们只把不超过$\sqrt{n}$的质因子表示进状态（$n<=500$时只有8个），先只对不含超过$\sqrt{n}$的质因子的数进行DP，剩下对每种超过$\sqrt{n}$的质因数都一起转移一遍（同种只能被一个人选，而被谁选不会影响之后的状态）。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MN 500
int mod,u[MN+5],p[MN+5],pn,f[2][1<<8][1<<8],ff[1<<8][1<<8];
inline void upd(int&a,int b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
int main()
{
    int n,l,i,j,k,nw,ls,x,ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    for(i=2;i<=MN;++i)
    {
        if(!u[i])p[++pn]=i,u[i]=pn;
        for(j=1;i*p[j]<=MN;++j){u[i*p[j]]=j;if(i%p[j]==0)break;}
    }
    for(nw=0,ls=f[0][0][0]=1,i=2;i<=n;++i)
    {
        for(x=0,j=i;j>1;j/=p[u[j]])
        {
            if(u[j]>8)break;
            x|=1<<u[j]-1;
        }
        if(j>1)continue;
        nw^=1;ls^=1;memset(f[nw],0,sizeof(f[nw]));
        for(j=0;j<1<<8;++j)for(k=0;k<1<<8;++k)
        {
            upd(f[nw][j][k],f[ls][j][k]);
            if(!(j&x))upd(f[nw][j][k|x],f[ls][j][k]);
            if(!(k&x))upd(f[nw][j|x][k],f[ls][j][k]);
        }
    }
    for(l=9;l<=pn;++l)
    {
        nw^=1;ls^=1;
        for(j=0;j<1<<8;++j)for(k=0;k<1<<8;++k)f[nw][j][k]=mod-f[ls][j][k],ff[j][k]=f[ls][j][k];
        for(i=p[l];i<=n;i+=p[l])
        {
            for(x=0,j=i;j>1;j/=p[u[j]])
                if(u[j]<9)x|=1<<u[j]-1;
            for(j=1<<8;j--;)for(k=1<<8;k--;)
                if(!(k&x))upd(ff[j|x][k],ff[j][k]);
        }
        for(j=0;j<1<<8;++j)for(k=0;k<1<<8;++k)upd(f[nw][j][k],(ff[j][k]+ff[k][j])%mod);
    }
    for(j=0;j<1<<8;++j)for(k=0;k<1<<8;++k)upd(ans,f[nw][j][k]);
    printf("%d",ans);
}