[bzoj4197][Noi2015]寿司晚宴

Posted 2020-12-30 memory-of-winter

题目大意：有$n-1$个数为$2sim n$，其中$nleq 500$，两个人选数，要求两个人选的数中，每个人选的数都和另一个人选的所有数互质。问选的方法总数。

题解：状压$DP$，由于一个数$N$最多有一个大于$sqrt{N}$的质因子，可以对小于等于$sqrt{N}$的质因子和大于$sqrt{N}$的分别考虑。

发现$sqrt{500}$以内的质数只有$8$个。令$f_{i,j}$表示第一个人取了质数集合$i$，第二个人取了质数集合$j$的方案数。

再考虑大质数的情况。对所有的数，按照大质因子排序，然后令$g_{0/1,i,j}$表示两个人取的数中，第一个人取了质数集合$i$，第二个人取了质数集合$j$，且当前大质数集合由第一个人取或第二个人取的方案数。

最后令$f_{i,j}=g_{0,i,j}+g_{1,i,j}-f_{i,j}$，因为存在两人都不取的情况，被计算了两次，减去。

卡点：无

 

C++ Code：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define P (1 << 8)
#define maxn 510
using namespace std;
const int plist[8] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
int n, p, f[P][P], g[2][P][P];
int s[maxn], rem[maxn], rnk[maxn], ans;

inline bool cmp(int a, int b) {return rem[a] < rem[b];}
inline bool start(int i) {return rem[rnk[i]] == 1 || rem[rnk[i]] != rem[rnk[i - 1]];}
inline bool end(int i) {return rem[rnk[i]] == 1 || rem[rnk[i]] != rem[rnk[i + 1]];}
inline void update(int &a, int b) {a = (a + b) % p;}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &p);
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		int tmp = i;
		for (int j = 0; j < 8; j++) {
			if (tmp % plist[j] == 0) {
				s[i] |= 1 << j;
				while (tmp % plist[j] == 0) tmp /= plist[j];
			}
		}
		rem[i] = tmp;
		rnk[i] = i;
	}
	sort(rnk + 2, rnk + n + 1, cmp);
	rem[0] = 0; f[0][0] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (start(i)) {
			memcpy(g[0], f, sizeof f);
			memcpy(g[1], f, sizeof f);
		}
		for (int j = P - 1; ~j; j--) {
			for (int k = P - 1; ~k; k--) {
				if (!(j & k)) {
					if ((k & s[rnk[i]]) == 0) update(g[0][j | s[rnk[i]]][k], g[0][j][k]);
					if ((j & s[rnk[i]]) == 0) update(g[1][j][k | s[rnk[i]]], g[1][j][k]);
				}
			}
		}
		if (end(i)) {
			for (int j = 0; j < P; j++) {
				for (int k = 0; k < P; k++) {
					f[j][k] = (1ll * g[0][j][k] + g[1][j][k] - f[j][k] + p) % p;
					if (i == n) update(ans, f[j][k]);
				}
			}
		}
	}
	printf("%d
", ans);
	return 0;
}