bzoj3270

Posted 2020-09-10 123456

3270: 博物馆

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Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。

两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）

不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。

两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。

两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1?≤?a,?b?≤?n),表示两个男孩的初始位置。

之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。

之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。

题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）

注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

 

Source

如果是有向无环图，那么很好做，但是如果是无向图呢？转移能互相转移，很明显不能用dp做了。

但是我们沿用dp的思想。我们先列出dp式子 f(i,j) =  f(i,j) * (1 - pi) + sigma(f(x,j)*px+f(i,y)*py+f(x,y)*px*py) 这个式子讨论了几种到f(i,j)的情况，f(i, j) 表示一个人到i一个人到j的概率。这个式子看起来很对，事实上也是对的，但是没办法用dp转移，因为互相之间都能互相转移。但是这个东西很像方程，那么我们用高斯消元来解方程。

解的步骤（套路）：f(i,j) =  f(i,j) * (1 - pi) + sigma(f(x,j)*px+f(i,y)*py+f(x,y)*px*py) 如果i=a b=j那么f(a,b)+1=...

于是这就是一个方程组，高斯消元解出就得出答案了。代码中f(i,i)=-1 f(a,b)=-1是因为移项，自己在纸上把方程列出来就能理解了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define id(x, y) (x - 1) * n + y
const int N = 410;
struct edge {
    int nxt, to;
} e[N << 1];
int n, m, cnt = 1, x, y;
int head[N];
double p[N], a[N][N], d[N];
void link(int u, int v)
{
    e[++cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt;
    e[cnt].to = v;
}
void build()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j) 
        {
            --a[id(i, j)][id(i, j)]; 
            if(i != j) a[id(i, j)][id(i, j)] += p[i] * p[j];
            for(int x = head[i]; x; x = e[x].nxt) if(e[x].to != j)
                a[id(i, j)][id(e[x].to, j)] += (1.0 - p[e[x].to]) / d[e[x].to] * p[j];
            for(int x = head[j]; x; x = e[x].nxt) if(e[x].to != i)
                a[id(i, j)][id(i, e[x].to)] += (1.0 - p[e[x].to]) / d[e[x].to] * p[i];
            for(int x = head[i]; x; x = e[x].nxt)
                for(int y = head[j]; y; y = e[y].nxt) if(e[x].to != e[y].to)
                    a[id(i, j)][id(e[x].to, e[y].to)] += (1.0 - p[e[x].to]) * (1.0 - p[e[y].to]) / d[e[x].to] / d[e[y].to];
        }
    a[id(x, y)][n * n + 1] = -1;    
}
void gauss()
{
    int tot = n * n;
    for(int now = 1; now <= tot; ++now)
    {
        int x = now;
        for(int i = now + 1; i <= tot; ++i) if(abs(a[i][now]) > abs(a[x][now]) && a[i][now] != 0) x = i;
        for(int i = 1; i <= tot + 1; ++i) swap(a[x][i], a[now][i]);
        double t = a[now][now];
        for(int i = now; i <= tot + 1; ++i) a[now][i] /= t;
        for(int i = 1; i <= tot; ++i) if(i != now)
        {
            double t = a[i][now];
            for(int j = now; j <= tot + 1; ++j) a[i][j] -= a[now][j] * t;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &x, &y);
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
        d[u] += 1.0; d[v] += 1.0;
        link(u, v); link(v, u);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf", &p[i]);
    build();
    gauss();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%.6f ", a[id(i, i)][n * n + 1]);
    return 0;
}