bzoj3270 博物馆

Posted 2020-07-09 AaronPolaris

3270: 博物馆

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Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。

两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）

不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。

两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。

两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1?≤?a,?b?≤?n),表示两个男孩的初始位置。

之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。

之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。

题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）

注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

Source

高斯消元

概率DP+高斯消元，方法很妙

首先直接对于概率进行状态转移是很困难的，而对于期望转移就比较容易。所以我们在设状态时最好设期望，而概率本质上就期望除以期望的总和。

我们定义状态(x,y)表示甲走到了x，乙走到了y。

f(x,y)表示走到状态(x,y)的期望次数。

最终答案为每一个结束状态的概率，又因为所有结束状态的期望次数的和是1(因为走到结束状态就不走了)，所以每个结束状态的概率就等于该状态的期望次数。

然后对于所有f(x,y)建立出彼此的等量关系，用高斯消元即可解出每一个f(x,y)的值。

P.S.重点理解代码中的a[f[s][t]][tot+1]=-1，这是因为初始状态(s,t)一开始就会走一次，所以期望次数要加1，移项后即为-1。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 405
using namespace std;
int n,m,s,t,cnt,tot;
int f[21][21],d[21],head[21];
double p[maxn],a[maxn][maxn];
struct edge_type{int next,to;}e[maxn];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline void add_edge(int x,int y)
{
	e[++cnt]=(edge_type){head[x],y};head[x]=cnt;
	e[++cnt]=(edge_type){head[y],x};head[y]=cnt;
}
inline void solve(int x,int y)
{
	int num=f[x][y];
	a[num][num]=-1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].next) for(int j=head[y];j;j=e[j].next)
	{
		int tx=e[i].to,ty=e[j].to,t1=f[x][y],t2=f[tx][ty];
		if (tx!=ty)
		{
			if (tx==x&&ty==y) a[t1][t2]+=p[tx]*p[ty];
			else if (tx==x) a[t1][t2]+=p[tx]*(1-p[ty])/d[ty];
			else if (ty==y) a[t1][t2]+=p[ty]*(1-p[tx])/d[tx];
			else a[t1][t2]+=(1-p[tx])*(1-p[ty])/d[tx]/d[ty];
		}
	}
}
inline void gauss()//高斯-约当消元 
{
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		int tmp=i;
		while (!a[tmp][i]&&tmp<=tot) tmp++;
		if (tmp>tot) continue;
		if (tmp!=i) F(j,1,tot+1) swap(a[i][j],a[tmp][j]);
		F(j,1,tot) if (j!=i)
		{
			double t=a[j][i]/a[i][i];
			F(k,1,tot+1) a[j][k]-=a[i][k]*t;
		}
	}
}
int main()
{
	n=read();m=read();s=read();t=read();
	F(i,1,n) e[++cnt]=(edge_type){head[i],i},head[i]=cnt;
	F(i,1,m)
	{
		int x=read(),y=read();
		add_edge(x,y);
		d[x]++;d[y]++;
	}
	F(i,1,n) scanf("%lf",&p[i]);
	F(i,1,n) F(j,1,n) f[i][j]=++tot;
	a[f[s][t]][tot+1]=-1;
	F(i,1,n) F(j,1,n) solve(i,j);
	gauss();
	F(i,1,n)
	{
		int tmp=f[i][i];
		printf("%.6lf ",a[tmp][tot+1]/a[tmp][tmp]);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}