反射向量 及 向量投影

Posted 2020-09-10 3D入魔

求反射向量

在图形学中，计算光照模型时，经常需要求取反射向量，一般的shader函数库都提供计算反射向量的方法，下面介绍一下如何手动计算反射向量。

给定入射光线向量I和平面法向量N，求反射向量R，如下图。为了方便计算，这里假定I和N都是单位向量（模为1，编程时可先将I和N单位化）

方法一

设入射光线向量I和反射平面的法向量N之间的夹角为theta。连接I的始端和R的末端，则有

R = 2P - I              （1）

现在问题变成了如何求取P，设入射点0到P与N的交点的向量为S，那么有

P = I + S               （2）

现在问题变成了如何求取向量S，向量S即向量-N（注意，这里是-N，因为S和N的方向相反。）在向量N上的投影，根据向量的投影公式有

因为N是单位向量，简化一下得到

将S代入公式（2），再将P代入公式（1）得到

方法二

将R平移一下，与向量N的延长线相交。

由于入射角和反射角相等，且I和R的长度也相等，所以三角形ION是等腰三角形。故有

ON = 2S

所以有

R = I + 2S

而S是-I在N上的投影，所以有

由于N是单位向量，简化一下得到

所以

貌似方法二更直观些。

 

向量投影

给定一个向量u和v，求u在v上的投影向量，如下图。

假设u在v上的投影向量是u’，且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性，大小和方向，我们先确定u’的大小（即长度，或者模），从u的末端做v的垂线，那么d就是u’的长度。而u’和v的方向是相同的，v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有

                          (1)

再求d的长度。

                      (2)

最后求cos(theta)

                   (3)

联合求解方程（1）（2）（3）得到

这就是最终的投影向量。

而这个向量的长度d是

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以下是旧的推导，也保留。