bzoj 1096: [ZJOI2007]仓库建设

Posted 2020-09-07

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

 

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

 

 

思路

斜率优化模板题

首先，设Len=X[n]

修改一下X值，为当前点到最后的距离：

X[i]=Len-X[i]

设S[i]=S[i-1]+P[i]

SS[i]=SS[i-1]+X[i]*P[i]

不难得到：

为了比较F[i]从F[a]推过来更优，还是从F[b]推过来更优，

我们假设1<=b<a<i

那么，当选a更优的时候，

移项并化简：

接着：

所以，我们可以建立点p，p的横坐标为s[p]，p的纵坐标为F[p]-ss[p]。

维护1到i-1这些点构成的下凸壳，

在这个凸壳上找到一个点p，

使得对于1<=j<p，(p.y-j.y)/(p.x-j.x)<-x[i]

对于p<j<i，(j.y-p.y)/(j.x-p.x)>=-x[i]

这样，p点就是最优的，可以从p点推到i点。

找p点有两种方法：

1、三分（3000多ms）

2、我们还发现这个-x[i]是单调递增的，所以也满足决策单调性，（i递增的时候，最优的p点也是递增的）

所以我们可以维护一个单调队列，使得p点在队首即可。（1800多ms）

 

代码

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 using namespace std;
 4 #define ref(i,x,y)for(int i=x;i<=y;++i)
 5 typedef long long ll;
 6 const int N=1000001;
 7 int read()
 8 {
 9     char c=getchar();int d=0,f=1;
10     for(;c<‘0‘||c>‘9‘;c=getchar())if(c==‘-‘)f=-1;
11     for(;c>=‘0‘&&c<=‘9‘;d=d*10+c-48,c=getchar());
12     return d*f;
13 }
14 int n,h,t;
15 ll len,x[N],p[N],c[N],ss[N],s[N],f[N],num[N];
16 struct dot{ll x,y;}a[N];
17 int main()
18 {
19     n=read();
20     ref(i,1,n)x[i]=read(),p[i]=read(),c[i]=read();
21     x[0]=len=x[n];
22     ref(i,1,n)x[i]=len-x[i];
23     ref(i,1,n)ss[i]=ss[i-1]+x[i]*p[i];
24     ref(i,1,n)s[i]=s[i-1]+p[i];
25     a[1]=(dot){0,0};num[1]=0;h=1,t=1;
26     ref(i,1,n)
27     {
28         ll kk=-x[i];
29         while(h<t)
30         {
31             dot A=a[h],B=a[h+1];
32             if(double(B.y-A.y)/(B.x-A.x)<=kk)h++;else break;
33         }
34         int j=num[h];
35         f[i]=f[j]+(ss[i]-ss[j])-(s[i]-s[j])*x[i]+c[i];
36         dot C=(dot){s[i],f[i]-ss[i]};
37         while(h<t)
38         {
39             dot A=a[t-1],B=a[t];
40             if(double(B.y-A.y)/(B.x-A.x)>=double(C.y-A.y)/(C.x-A.x))
41                 t--;
42             else break;
43         }
44         a[++t]=C;
45         num[t]=i;
46     }
47     cout<<f[n]<<endl;
48 }