BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设（斜率优化）

Posted 2020-08-09 konjak魔芋

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设（斜率优化）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1096: [ZJOI2007]仓库建设
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 3940 Solved: 1736
Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

【分析】

　　截距式的斜率优化虽然好想，但是真的推导过程总是各种错TAT

　　for i 1~n　　

　　f[i]=f[j]+p[k]*(x[k]-x[j]) +c[i](i<k<=j) [f(i)表示在i处建站，枚举上一个建站位置j

　　设s1[i]=sigma(p[1~i]) s2[i]=sigma(-p[1~i]*x[1~i])

　　得 f[i]=-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j]+f[j] - s2[i]+x[i]

　　斜率s1[i]单调递减，维护一个下凸包即可。

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<queue>
 7 #include<cmath>
 8 using namespace std;
 9 #define Maxn 1000010
10 #define LL long long
11 
12 // LL x[Maxn],p[Maxn],c[Maxn];
13 LL s1[Maxn],s2[Maxn],f[Maxn];
14 
15 struct hp
16 {
17     LL x,p,c;
18 }d[Maxn];
19 
20 struct node
21 {
22     LL x,y;
23 }t[Maxn];LL cnt;
24 LL n;
25 
26 bool cmp(hp x,hp y) {return x.x<y.x;}
27 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}
28 
29 void init()
30 {
31     scanf("%lld",&n);
32     for(LL i=1;i<=n;i++)
33     {
34         scanf("%lld%lld%lld",&d[i].x,&d[i].p,&d[i].c);
35     }
36     // sort(d+1,d+1+n,cmp);
37     s2[0]=0;s1[0]=0;
38     for(LL i=1;i<=n;i++)
39     {
40         s1[i]=s1[i-1]+d[i].p;
41         s2[i]=s2[i-1]-d[i].p*d[i].x;
42     }
43 }
44 
45 bool check(LL x,LL y,LL k)
46 {
47     return (t[y].y-t[x].y)<=k*(t[y].x-t[x].x);
48 }
49 
50 bool check2(LL x,LL y,LL z)
51 {
52     return (t[x].y-t[z].y)*(t[x].x-t[y].x)<=(t[x].x-t[z].x)*(t[x].y-t[y].y);
53 }
54 
55 void ffind()
56 {
57     LL cnt=0,st;
58     f[n]=d[n].c;
59     t[++cnt].x=d[n].x;t[cnt].y=s1[n]*d[n].x+s2[n]+f[n];st=1;
60     LL ans=t[1].y;
61     for(LL i=n-1;i>=1;i--)
62     {
63         while(st<cnt&&check(st,st+1,s1[i])) st++;
64         f[i]=-s1[i]*t[st].x+t[st].y-s2[i]+d[i].c;
65         //-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j] - s2[i]
66         t[0].x=d[i].x;t[0].y=s1[i]*d[i].x+s2[i]+f[i];
67         while(st<cnt&&check2(cnt,cnt-1,0)) cnt--;
68         t[++cnt]=t[0];
69         ans=mymin(ans,t[cnt].y);
70     }
71     printf("%lld\n",ans);
72 }
73 
74 int main()
75 {
76     init();
77     ffind();
78     return 0;
79 }