UVALive7042（博弈论）

Posted 2020-09-07 人活着就是为了Chelly

题意：

　　Bob和Alice在有向图内玩游戏，n个顶点，m条边。

　　每人一颗棋子，初始位置分别是x，y。

　　Bob先手，轮流操作，每次只能走一条有向边。

　　结束条件: 1.不能操作的人输 2.两个棋子重合Bob输 3.游戏没有尽头Alice输

　　问 Bob 能不能赢？

　　2 <= n <= 100. 1 <= m <= n <= n*(n-1) 1 <= x , y <= n, x != y.

分析：

　　设计状态[x][y][0/1] 表示Alice的棋子在x，Bob的棋子在y，0表示Alice下次先手，1表示Bob下次先手

　　那么f[x][y][0/1]就表示该状态对于Bob来说是必胜状态还是必败状态

　　考虑到Bob赢的特殊规则：游戏没有尽头

　　那么对于我们所有的状态，我们可以初始默认全部都是1

　　然后挑出那些刚开始显而易见的必败态（博弈树的叶子节点），从这些必败态开始扩展，能扩展到的节点都是必败态节点，这样用队列扩展结束后，每个点的胜败就知道了

　　刚开始必败态：f[x][x][0/1]（棋子重合Bob输） f[i][x][1] （x没有出边，Bob无法走子，输）

　　考虑f[i][j][0]的转移：

　　　　既然通过f[i][j][0]转移，就说明该状态一定是Bob的必败态，而且这个状态是Alice先手，那么说明这个状态的父节点是Bob先手

　　　　Bob从f[i‘][j][1]走到f[i][j][0]，那么现在问题就是f[i‘][j][1]是不是必败态呢？

　　　　通过博弈的基础知识易得，Bob先手走如果走到这个必败节点，那么就必须是Bob能走到的节点全都是必败节点！

　　　　在这里，我们可以把状态节点f[i‘][j][1]的访问次数+1，表示f[i‘][j][1]的一条出边对应的节点是必败节点

　　　　注意f[i‘][j][1]的出边数量是i‘点的出度！所以，如果某次扩展，f[i‘][j][1]的访问次数正好为i‘点的度数，那么说明这个状态节点的所有的子节点都是Bob必败态，所以该节点也是Bob必败态

　　考虑f[i][j][1]的转移

　　　　既然通过f[i][j][1]转移，就说明该状态一定是Bob的必败态，而且这个状态是Bob先手，那么说明这个状态的父节点是Alice先手

　　　　既然是Alice先手，能走到一个Bob必败态，那么Alice肯定要这样选择，所以直接f[i][j‘][0]是必败态

　　注意bfs过程中，对状态判重

　　最后结果就是f[Alice][Bob][1]