基础博弈论

Posted 2021-11-27 wuxiangnong

基础博弈论

博弈论，又称对策论，是现代数学的一个分支，强调一个对策，看起来十分深奥，好像古代那些军师的计谋。的确，博弈论是一门非常深奥的学科，在生活中也有不少运用，但作为信息学奥赛选手，我们没有必要去专业的学习博弈论，只需要知道一些常见的博弈论以及它的结论和证明即可。

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1、巴什博弈：

这是一个最常见的博弈论，我们小学都玩过。这个博弈讲的是有n个石子，两个人轮流取，每次至少要取一个，最多取m个，谁先取完谁胜，判断谁有必胜策略。

我们假设希望后手赢，那么最理想的状态就是，轮到后手取了，而剩下的石子数不超过m。记石子数为x，不难得出，这时候x的取值范围在1~m。那么，我们再往前推一步，先手还没取时x的取值范围应该在2~2m之间。但是，这里面并不是所有情况下我们都能保证后手必胜，这时候我们分别讨论它的两个边界：

①∵先手取完后剩下的石子数量必须大于0，得x-m>=1，即x>=m+1；

②∵先手取完后剩下的石子数量还不能大于m，得x-1<=m，即x<=m+1.

∴综上所述：x=m+1。也就是说，在一轮内后手必胜的情况当且仅当x=m+1。说明一下讨论的过程：我们的目的是想让后手在先手->后手这一轮内必胜，所以先手肯定不能把石子取完，换句话说就是先手取完后剩下的石子数必须不小于1；但是，既然要保证在一轮内结束，先手->后手以后不能再有剩下的石子，换句话说就是先手取完后剩下的石子数不能超过m，于是就得出了我们的结论。

既然这样，那这个问题就变得很简单了：我们已经知道一轮内后手必胜的条件，那我们如果能使整个局面划分成很多这样的“一轮”，结果不就很明显了吗？如果n可以被m+1整除，那么后手就可以控制整个局面，只要每一轮取得石子与先手取的石子的和都保持在m+1，就相当于玩了很多轮，每轮都胜，最后必胜；反之，如果无法整除，那么先手的人就可以把n取到可以被m+1整除，然后，原来的后手就处于先手的位置上了，原来的先手扮演的角色就变成了后手，谁胜谁负不言而喻。

所以，巴什博弈的结论就是：如果n除以m+1余数为0，则后手必胜；否则先手必胜。

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2、尼姆游戏：
尼姆游戏是一种两个人玩的回合制数学战略游戏。游戏者轮流从一堆棋子（一共有好几堆，一次只能从其中一堆拿）中取走一个或者多个，最后不能再取的就是输家。当然，这是最基本的尼姆游戏，在这个规则上可以加上五花八门的规则，使这个游戏更有趣味，思维也更加复杂。所以，我们会拿具体的例子来分析，也会随时拿新的规则来试玩。

（1）给出n堆石子，从1到n标号，每堆若干个。两个人轮流取石子，每次只能从有石子的，且标号最小的那一堆取石子，不能不取，取的数量不限，取走最后一个石子的玩家获胜。

什么意思呢？假如说我有n堆石子，那我们两个人必须先把第一堆石子取完，才能取第二堆，取完第二堆才能取第三堆，取完第三堆才能取第四堆......这样的话，我想要取胜，就要保证最后取完n-1堆后轮到我，这样我就可以直接取完。那么，我肯定要找到一种能让我在小范围必胜的策略，而且要能够将整个局面划分成很多个这样的小范围。所以，不妨先考虑对于两堆石子我们的策略，一堆就是先手必胜了，不必考虑。假设我是先手，那么两堆石子，我想要让这堆石子由后手取完，我该怎么做？实际上，让后手取完这堆石子，实际上就是让我在开始取新的一堆石子时保持先手，这要如何实现呢？

不要着急，我们缩小规模，从两堆石头开始讨论，注意是两堆，一堆的话没啥好说的。现在要让先手赢，先手有这两种操作：取完，不取完。取完的话，先手就输了。那么我们肯定不能取完。来到后手，根据上面的推导，同样可以得出后手不能取完，于是就这样僵持着......会不会有个尽头呢？会！因为题目有说，每一次不能不取，也就是最少取一个，那如果取到只剩下一个石子，你不想取也得取，这就是我们的突破口：

如果石子的数量为1，那么下一堆石子的先手权就到了另一个人手上。因此，如果我们想要让先手得到下一轮的先手权，我们的做法就是将这堆石子取到只剩一个，那后手只好取完这堆石子，我们拿到了下一堆石子的先手权，可以用同样的方法，获得再下一堆的先手权......这样，最后一堆石子必然是由我们取完。

但是，如果中间原先就有数量为1的石子堆，怎么办？1的作用是让先手权转移，假如下一堆只有1个石子，那这时候我就不会再想要下一轮的先手权了，因为再下一轮我就没有先手权了，那么我们可以把当前这堆石子取完，让另一个人拿到下一堆石子的先手权，那再下一堆石子先手权又回到我们手上了。如果有连续的1呢？实际上，连续的1是可以抵消的，偶数个1其实就相当于没有1，奇数个1就相当于一个1，因为你的先手权转移两次相当于没转。所以，我们采取必胜策略的情况下，当有奇数个1的时候，我们就把当前这堆石子取完；否则就按照正常的情况，取到剩下一个。综上所述，只要我们当前的石子数量不为1，我们总有方法掌控全局，让先手必胜。

但是！如果我们开头就是1呢？那这样的话，先手就没有任何策略可以使用了，只能乖乖地将先手权让出去，这是先手唯一可能失败的情况。如果开头就是1，我们就要判断连续1的个数是奇数还是偶数，如果是奇数那先手必败，这时候的先手的处境就像我们上文的后手。如果是偶数，那么先手又赢了。说了半天，我们最终得到一个结论：对于这道题，判断胜负的依据就是开头连续1的个数。所以我们只需记录开头1的个数即可，但值得一提的是，我们对于这些石子堆的讨论终止于第n-1堆石子，什么意思？我们不需要考虑第n堆石子，因为第n-1堆石子就可以决出胜负了，所以，在记录连续1的个数是，最多只能记录到第n-1堆，也就是说如果用i来表示当前堆的编号，那么i<n。

来源于YZOJ 1698（作者争取尽快弄到洛谷上）

未完待续