bzoj2815[ZJOI2012]灾难 拓扑排序+构造+倍增LCA

Posted 2020-09-06 GXZlegend

题目描述（转自洛谷）

阿米巴是小强的好朋友。

阿米巴和小强在草原上捉蚂蚱。小强突然想，果蚂蚱被他们捉灭绝了，那么吃蚂蚱的小鸟就会饿死，而捕食小鸟的猛禽也会跟着灭绝，从而引发一系列的生态灾难。

学过生物的阿米巴告诉小强，草原是一个极其稳定的生态系统。如果蚂蚱灭绝了，小鸟照样可以吃别的虫子，所以一个物种的灭绝并不一定会引发重大的灾难。

我们现在从专业一点的角度来看这个问题。我们用一种叫做食物网的有向图来描述生物之间的关系：

一个食物网有N个点，代表N种生物，如果生物x可以吃生物y，那么从y向x连一个有向边。

这个图没有环。

图中有一些点没有连出边，这些点代表的生物都是生产者，可以通过光合作用来生存； 而有连出边的点代表的都是消费者，它们必须通过吃其他生物来生存。

如果某个消费者的所有食物都灭绝了，它会跟着灭绝。

我们定义一个生物在食物网中的“灾难值”为，如果它突然灭绝，那么会跟着一起灭绝的生物的种数。

举个例子：在一个草场上，生物之间的关系是：

 

如果小强和阿米巴把草原上所有的羊都给吓死了，那么狼会因为没有食物而灭绝，而小强和阿米巴可以通过吃牛、牛可以通过吃草来生存下去。所以，羊的灾难值是1。但是，如果草突然灭绝，那么整个草原上的5种生物都无法幸免，所以，草的灾难值是4。

给定一个食物网，你要求出每个生物的灾难值。

输入

输入文件 catas.in 的第一行是一个正整数 N，表示生物的种数。生物从 1 标号到 N。

接下来 N 行，每行描述了一个生物可以吃的其他生物的列表，格式为用空格隔开的若干个数字，每个数字表示一种生物的标号，最后一个数字是 0 表示列表的结束。

输出

包含N行，每行一个整数，表示每个生物的灾难值。

样例输入

5
0
1 0
1 0
2 3 0
2 0

样例输出

4
1
0
0
0

---

题解

拓扑排序+重构树+倍增LCA

暴力的n^2算法肯定是不行的，我们需要考虑特殊的做法。

由于每次有且只有一种生物灭绝，而当且仅当x的所有食物都灭绝，x才会灭绝。

所以所有x的食物从上至下能共同达到的某个节点灭绝时，x才会灭绝。

根据这个我们可以重构树然后跑LCA。

先把所有没有食物的点（题目中描述为“生产者”）向0连一条边。

然后对原图进行拓扑排序，得到每个点进队列的顺序。

再从后向前扫一遍，对于每个点，对它的所有食物节点求一下LCA（两两求一次），将这个点连到LCA上。

由于我们加了“生产者”->0的一条边，所以能够使得加进来的是一棵树，而不是一个森林。

每次重构时，不需要LCT，直接看作新加一个节点x，f[x][0]=LCA，然后处理一下就行了。

最后要求的就是子树大小-1，所以利用拓扑排序（也就是一种bfs序）向上更新即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n , head[70000] , to[1000000] , next[1000000] , cnt , rd[70000] , q[70000] , l = 1 , r , fa[70000][20] , deep[70000] , log[70000] , si[70000];
void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y;
	next[cnt] = head[x];
	head[x] = cnt;
}
void topsort()
{
	int i , j , x;
	for(i = 0 ; i <= n ; i ++ ) for(j = head[i] ; j ; j = next[j]) rd[to[j]] ++ ;
	for(i = 0 ; i <= n ; i ++ ) if(!rd[i]) q[++r] = i;
	while(l <= r)
	{
		x = q[l ++ ];
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		{
			rd[to[i]] -- ;
			if(!rd[to[i]]) q[++r] = to[i];
		}
	}
}
int lca(int x , int y)
{
	int i;
	if(deep[x] < deep[y]) swap(x , y);
	for(i = log[deep[x] - deep[y]] ; ~i ; i -- )
		if(deep[x] - (1 << i) >= deep[y])
			x = fa[x][i];
	if(x == y) return x;
	for(i = log[deep[x]] ; ~i ; i -- )
		if(fa[x][i] != fa[y][i])
			x = fa[x][i] , y = fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
int main()
{
	int i , j , t , x;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		scanf("%d" , &t);
		if(!t) add(i , 0);
		else
		{
			do
			{
				add(i , t);
				scanf("%d" , &t);
			}while(t);
		}
	}
	topsort();
	for(i = 2 ; i <= n + 1 ; i ++ ) log[i] = log[i >> 1] + 1;
	for(i = n ; i ; i -- )
	{
		x = q[i] , t = to[head[x]];
		for(j = next[head[x]] ; j ; j = next[j]) t = lca(t , to[j]);
		fa[x][0] = t;
		deep[x] = deep[t] + 1;
		for(j = 1 ; j <= log[deep[x]] ; j ++ ) fa[x][j] = fa[fa[x][j - 1]][j - 1];
	}
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) si[q[i]] ++ , si[fa[q[i]][0]] += si[q[i]];
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) printf("%d\n" , si[i] - 1);
	return 0;
}