[BZOJ2815][ZJOI2012]灾难

Posted 2020-09-05 xjr_01

[BZOJ2815][ZJOI2012]灾难

试题描述

阿米巴是小强的好朋友。 
阿米巴和小强在草原上捉蚂蚱。小强突然想，如果蚂蚱被他们捉灭绝了，那
么吃蚂蚱的小鸟就会饿死，而捕食小鸟的猛禽也会跟着灭绝，从而引发一系列的
生态灾难。 
学过生物的阿米巴告诉小强，草原是一个极其稳定的生态系统。如果蚂蚱灭
绝了，小鸟照样可以吃别的虫子，所以一个物种的灭绝并不一定会引发重大的灾
难。 
我们现在从专业一点的角度来看这个问题。我们用一种叫做食物网的有向图
来描述生物之间的关系： 
一个食物网有 N个点，代表 N 种生物，如果生物 x 可以吃生物 y，那么从 y
向 x 连一个有向边。 
这个图没有环。 
图中有一些点没有连出边，这些点代表的生物都是生产者，可以通过光合作
用来生存； 而有连出边的点代表的都是消费者，它们必须通过吃其他生物来生
存。 
如果某个消费者的所有食物都灭绝了，它会跟着灭绝。 
我们定义一个生物在食物网中的“灾难值”为，如果它突然灭绝，那么会跟
着一起灭绝的生物的种数。 
举个例子：在一个草场上，生物之间的关系是： 

如果小强和阿米巴把草原上所有的羊都给吓死了，那么狼会因为没有食物而
灭绝，而小强和阿米巴可以通过吃牛、牛可以通过吃草来生存下去。所以，羊的
灾难值是 1。但是，如果草突然灭绝，那么整个草原上的 5 种生物都无法幸免，
所以，草的灾难值是 4。 
给定一个食物网，你要求出每个生物的灾难值。

输入

第一行是一个正整数 N，表示生物的种数。生物从 1 标
号到 N。 
接下来 N 行，每行描述了一个生物可以吃的其他生物的列表，格式为用空
格隔开的若干个数字，每个数字表示一种生物的标号，最后一个数字是 0 表示列
表的结束。 

输出

包含N行，每行一个整数，表示每个生物的灾难值。 

输入示例

5
0
1 0
1 0
2 3 0
2 0

输出示例

4
1
0
0
0

数据规模及约定

对 50%的数据，N ≤ 10000。 
对 100%的数据，1 ≤ N ≤ 65534。 
输入文件的大小不超过 1M。保证输入的食物网没有环。 

题解

对于一个 DAG 构建支配树。

口胡一下什么是支配树。。。

首先给 DAG 规定一个源点 S（如果有多个入度为 0 的点，自己建立一个），支配树就是一棵树，满足任意一个节点 x 的祖先节点是原图中 S 到 x 路径上的必经节点。

那么构造这个支配树的关键在于找到对于路径 S -> x 中必经节点中离 x 最近的那个节点 v，在支配树上 v 就是 x 的父亲。

构造方法就是我们按拓扑序构建这棵树，考虑拓扑序第 i 位对应节点 u，那么拓扑序前 i-1 位的节点一定都放到了支配树里面，并且所有指向 u 的边的起点都在那前 i-1 个节点中，我们找到所有指向 u 的边的起点，求出它们在这棵已有树上的 lca，那么这个 lca 就是 u 的父亲。

注意到我们每次只是添加一个叶子，所以不需要什么高级的数据结构，我们可以直接用倍增 lca 的办法进行维护，添加了节点 u 之后，直接更新 u 的 2^x 级祖先就好了。

构造完支配树，我们处理出每个节点所在子树大小，减 1 后输出就好了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == \'-\') f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - \'0\'; c = getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 65540
#define maxm 3000010
#define maxlog 16

int n, m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], reM, reH[maxn], reN[maxm], reT[maxm];

void AddEdge(int a, int b) {
	to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
	swap(a, b);
	reT[++reM] = b; reN[reM] = reH[a]; reH[a] = reM;
	return ;
}

int ind[maxn], Q[maxn], hd, tl;

struct Tree {
	int rt, fa[maxn][maxlog], dep[maxn], siz[maxn];
	int m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm];
	
	void init(int _rt) {
		rt = _rt;
		memset(dep, 0, sizeof(dep));
		memset(fa, 0, sizeof(fa));
		return ;
	}
	
	int lca(int a, int b) {
		if(dep[a] < dep[b]) swap(a, b);
		for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(dep[a] - (1 << i) >= dep[b]) a = fa[a][i];
		for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(fa[a][i] != fa[b][i]) a = fa[a][i], b = fa[b][i];
		return a == b ? a : fa[b][0];
	}
	
	void AddEdge(int a, int b) {
		to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
		swap(a, b);
		to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
		return ;
	}
	void add(int u, int pa) {
		AddEdge(u, pa);
		dep[u] = dep[pa] + 1;
		fa[u][0] = pa;
		for(int i = 1; i < maxlog; i++) fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
		return ;
	}
	
	void dfs(int u) {
		siz[u] = 1;
		for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(to[e] != fa[u][0])
			dfs(to[e]), siz[u] += siz[to[e]];
		return ;
	}
	void build() { return dfs(rt); }
} sol;

int main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int x = read();
		while(x) {
			AddEdge(x, i); ind[i]++;
			x = read();
		}
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; i++) if(!ind[i]) AddEdge(n + 1, i), ind[i]++; n++;
	/*for(int u = 1; u <= n; u++) {
		printf("%d to\\n", u);
		for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) printf("%d ", to[e]);
		putchar(\'\\n\');
	} // */
	Q[++tl] = n;
	while(hd < tl) {
		int u = Q[++hd];
		for(int e = head[u]; e; e = nxt[e])
			if(!--ind[to[e]]) Q[++tl] = to[e];
	}
	sol.init(n);
	for(int i = 2; i <= tl; i++) {
		int u = Q[i], v = 0;
		for(int e = reH[u]; e; e = reN[e])
			if(v) v = sol.lca(v, reT[e]);
			else v = reT[e];
		sol.add(u, v);
//		printf("add to tree: %d %d\\n", u, v);
	}
	sol.build();
	
	for(int i = 1; i < n; i++) printf("%d\\n", sol.siz[i] - 1);
	
	return 0;
}