bzoj2815 [ZJOI2012]灾难

Posted 2020-09-04 wfj_2048

【问题描述】

阿米巴是小强的好朋友。

阿米巴和小强在草原上捉蚂蚱。小强突然想，如果蚂蚱被他们捉灭绝了，那么吃蚂蚱的小鸟就会饿死，而捕食小鸟的猛禽也会跟着灭绝，从而引发一系列的生态灾难。

学过生物的阿米巴告诉小强，草原是一个极其稳定的生态系统。如果蚂蚱灭绝了，小鸟照样可以吃别的虫子，所以一个物种的灭绝并不一定会引发重大的灾难。

我们现在从专业一点的角度来看这个问题。我们用一种叫做食物网的有向图来描述生物之间的关系：

一个食物网有 N个点，代表 N 种生物，如果生物 x 可以吃生物 y，那么从 y向 x 连一个有向边。 这个图没有环。

图中有一些点没有连出边，这些点代表的生物都是生产者，可以通过光合作用来生存； 而有连出边的点代表的都是消费者，它们必须通过吃其他生物来生存。

如果某个消费者的所有食物都灭绝了，它会跟着灭绝。

我们定义一个生物在食物网中的“灾难值”为，如果它突然灭绝，那么会跟着一起灭绝的生物的种数。

举个例子：在一个草场上，生物之间的关系是：

如果小强和阿米巴把草原上所有的羊都给吓死了，那么狼会因为没有食物而灭绝，而小强和阿米巴可以通过吃牛、牛可以通过吃草来生存下去。所以，羊的灾难值是 1。但是，如果草突然灭绝，那么整个草原上的 5 种生物都无法幸免，所以，草的灾难值是 4。

给定一个食物网，你要求出每个生物的灾难值。

【输入格式】
输入文件 catas.in 的第一行是一个正整数 N，表示生物的种数。生物从 1 标号到 N。

接下来 N 行，每行描述了一个生物可以吃的其他生物的列表，格式为用空格隔开的若干个数字，每个数字表示一种生物的标号，最后一个数字是 0 表示列表的结束。

【输出格式】
输出文件 catas.out 包含N行，每行一个整数，表示每个生物的灾难值。

【样例输入】
5
0
1 0
1 0
2 3 0
2 0

【样例输出】
4
1
0
0
0

【样例说明】
样例输入描述了题目描述中举的例子。

【数据规模】
对 50%的数据，N ≤ 10000。
对 100%的数据，1 ≤ N ≤ 65534。
输入文件的大小不超过 1M。保证输入的食物网没有环。

 

正解：灭绝树（拓扑排序+倍增）。

zz的bzoj没有题面。。

 

网上的神犇：

我们需要构造一棵“灭绝树”。

“灭绝树”满足以下性质：对于一棵多叉树的任意一个结点，当它“灭绝”时，它所有的后代也会跟着“灭绝”。

再回过来看这道题，题目要求的是某种生物“灭绝”后跟着“灭绝”的其他生物的数量，即这种生物在“灭绝树”中的后代数量。

那么问题来了，怎么建立“灭绝树”？

很显然，一种生物会“灭绝”只有两种情况：一是它原本就“灭绝”（即我们要求灾难值的那种生物），二是它所有的食物都“灭绝”。

第一种情况不用考虑，那么我们来考虑第二种情况。

假设有生物I。很显然，只有当生物I的所有食物的最近公共祖先（LCA）J“灭绝”时，生物I的所有食物才会同时“灭绝”（显然这里就要用到倍增求LCA的算法），然后，我们将生物I作为生物J的一个新的孩子节点，表示当J“灭绝”时，I也会跟着“灭绝”（因为它所有的食物都“灭绝”了）。

根据题目需求，最后只要输出每种生物在“灭绝树”中的所有后代数量（数量的计算可以在每次“灭绝树”加入新节点时进行一次DFS）就可以了。

 

本来以为这又是个新的数据结构什么的，原来就是拓扑排序+倍增。。那么我还是留一个“灭绝树”的tag吧。。

因为是动态加结点，所以求lca只能用倍增。。然后为什么跳17层不行？？改成18层才AC。。