2017.3.10组合数学学习——多重集合的排列

Posted 2020-09-03 日拱一卒 功不唐捐

多重集合的排列
定理：设S是多重集合，他有k种不同类型的对象，每一种类型的有限重复数是n1，n2，n3，…nk。设S的大小为n=n1+n2+n3+…nk。则S的n排列数目为n!/(n1!n2!n3!…nk!)
证明：
先从S中选出n1个位置放a1，有C（n，n1）种放法，再选出n2个位置放a2，有C（n-n1，n2）种放法……
由乘法原理得：
S的排列个数=C（n，n1）*C（n-n1，n2）*C（n-n1-n2，n3）*…*C（n-n1-n2-…-nk-1，nk）
∵C（n，r）=p（n，r）/r！=n！/[r!*(n-r)!]
∴原式=  n！           (n-n1)!                (n-n1-n2-…-nk-1)!       
        --------- *   -----------     * … *---------------------- 
        n!(n-n1)!   n2!(n-n1-n2)!          nk!(n-n1-n2-…-nk)!
  去公因式可得证
如果S只有2种对象a1，a2，重复数分比为n1，n2，其中n=n1+n2
那么由以上定理可得
S的排列数=n！（n1!n2!）=n!/[n1!*(n-n1)!]=C(n,n1)
所以C（n，n1）即可以看做n对象集合的n1子集数量，
也可以看做有两种类型的对象且重复数分别是n1和n-n1的多重集合排列数
定理：设n是正整数，并设n1，n2，…，nk，是正整数，且n=n1+n2+…nk。把n对象集合划分为k个标有标签的盒子，且第1个盒子含有n1个对象，第2个盒子含有n2个对象，…，第k个盒子含有nk个对象，这样的划分方法数=n！（n1！n2！…nk！）
如果盒子没有标签，且n1=n2=n3=…=nk，那么划分数=n！（k！n1!n2!…nk！）
定理：有k种颜色的n个车，第一种颜色有n1个，第二种颜色有n2个，…，第k种颜色有nk个。把这些车放在一个n*n的棋盘上使车之间不能互相攻击的方案数=（n！）²/（n1！n2！…nk！）
所以，一种颜色的n个车有n！种方法，n种颜色的n个车有（n！）²个
感性认知：
放置n个同颜色的车与n的排列有一一对应关系。即n的排列有n！种，每种排列放置的行不一都是一种新方案。颜色限制，相当于多重集合S的n排列。
注：以上所有公式前提：n=n1+n2+…nk
若两边不相等时
例：S={3*a，2*b，4*c}，求S的8排列数
解：S的集合可被划分为3个部分，由多重集合排列公式可得：
    ① 少一个a：s1=8！/（2！*2！*4!）
    ② 少一个b：s2=8！/（3！*1！*4!）
    ③ 少一个c：s3=8！/（3！*2！*3!）
   ans=s1+s2+s3
错解：s1=6！/（2！*4！）*C（7,2）
订正：s1=6！/（2！*4！）*[C（7,2）+C（7,1）]
因为2个a可以挨着