组合数学常用公式总结-更新中

Posted 2022-06-25 mooleetzi

• 小白总结，有误请大佬斧正

排列组合

排列

1. 无其他限制下，从n个物体种选择r个出来的所有排列情况为\(A(^r_n)=\fracn!(n-r)!\) r>n时\(A(^r_n)=0\)

2. 从n个物体种选择r个的圆排列为\(P(^r_n)=\fracA(^r_n)r\)

多重集的排列

1. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(\infty\)种（无限多重集），在这n种中取r个的排列为\(n^r\)

2. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当\(min(a_1,a_2,...a_n)>=r\)时，排列数依然为\(n^r\)

3. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,其全排列为\(\frac(a_1+a_2+a_3+...+a_n)!a_1!a_2!...a_n!\)

4. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当\(min(a_1,a_2,...a_n)<r\)时,排列为\(\fracr!ra_1!a_2!...a_n!\)

组合

1. 无限制下，从n个物体选择r个物体的组合为\(C(n,r)=\fracn!r!(n-r)!\), 亦写作\((^n_r)=\fracn!r!(n-r)!\), r>n时，\(C(n,r)=0\)

多重集的组合

1. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(\infty\)种（无限多重集），在这n种中取r个的组合为\((^n+r-1_r)=(^n+r-1n-1)\)

2. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当\(min(a_1,a_2,...a_n)>=r\)时，组合数为\((^n+r-1_r)=(^n+r-1n-1)\)

3. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当\(min(a_1,a_2,...a_n)<r\)时,组合为$$

二项式定理

• \((a+b)^n=\sum_0^nC(_n^i)a^ib^n-i\)

鸽巢原理

• n+1只鸽子飞向n个鸽巢，一定存在两只鸽子飞向了同一个鸽巢

生成函数篇

\((1-x)^-m=\sum_0^\inftyx^i(^m+i-1_m-1)\)