傅里叶变换2

Posted 2020-08-24

哈哈

傅里叶变换：任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成

在接触傅里叶变换的时候有一系列的问题我们从这些问题中慢慢深入的学习傅里叶变换。

问题一:为什么要用正弦曲线来代替原有的曲线

答：用正余弦曲线来代替原有信号更加简单，因为正余弦曲线拥有原有信号所不具有的性质：正余弦曲线保真度好，一个正余弦曲线信号输入后，输出的仍是正余弦曲线，只是幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正余弦曲线才有这样的性质。

问题二：傅里叶变化有那几类

1、非周期性连续信号       这就是傅里叶变化 FT

2、非周期性连续信号       傅里叶级数上节中做的高数基础知识的证明 FS

3、非周期性的离散信号    离散时域傅里叶变换 DTFT

4、周期性离散信号           离散傅里叶变化   根据狄利克里定理可能展开成级数形式 DFT

问题三：这四种傅里叶变换都是针对正无穷大或负无穷大的信号，即信号的长度是无穷大的。我们知道这对于计算机处理是不可能的。那么有没有针对长度有限的傅里叶变化呢

答：没有，因为正余弦信号被定义成从负无穷到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号合成长度有限的信号。

方法：把长度有限的信号表示成长度无限的信号，即把有限的信号从左右进行无限的延展，延展的部分用0来表示这样这个信号就可以被看做非周期性的离散信号就可以转换成第三类中进行研究和处理。因为针对计算机学科连续的情况不做考虑。

问题四：傅里叶变换跟函数变换是否相同

答：不同，虽然都是数学意义上的变换，但跟函数变换不同，函数变换符合一一映射的原则。这里讲的傅里叶变换是一中数学转化工具把抽象的不规律的信号，转换称熟悉的比较规律的信号形式进行叠加组合。是将抽象的不规律的信号用另一种形式展现处理所以可以不仅仅局限一种形式，不是一一映射的。简单的说就是把一堆数据转换成另一堆数据的方法。

问题五：实数傅里叶变换和虚数傅里叶变换怎么区分  各自的变换形式

答：首先每种傅里叶变换都分成种方法：实数傅里叶变换和虚数傅里叶变换。但是虚数的傅里叶变换比实数的傅里叶变换复杂的多。我们先做实数的傅里叶变换的学习和理解。在这里不妨先不纠结虚数实数傅里叶变换的关系和各自的实现形式。

下面看一个实数离散傅里叶变换的例子 找找感觉：

下图是原始信号：

这个信号的长度是16，于是可以把这个信号分解成9个余弦信号和9个正弦信号，为什么？（一个长度为N的信号可以分解成N/2个正余弦信号）看下面的分解图形

余弦信号：

正弦信号:

怎么变换的呢：简单的说就是将9个正余弦曲线在计算机中通过固定的方式排列组合而成的。在这里只需要明白他是一种组合就好。