数字信号处理傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换线性性质 | 傅里叶变换时移性质 )

Posted 2022-03-15 韩曙亮

文章目录

• 一、傅里叶变换线性性质
• 二、傅里叶变换时移性质
• • 证明过程

一、傅里叶变换线性性质

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傅里叶变换 线性性质 :

两个序列之和 的 傅里叶变换 ,

等于

两个序列 的 傅里叶变换 之和 ;

$$SFT[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=aSFT[x_1(n)]+bSFT[x_2(n)]$$

代入 傅里叶变换 公式

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

得到 :

$$SFT[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=a{X}_1(e^{j\omega })+b{X}_2(e^{j\omega })$$

二、傅里叶变换时移性质

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傅里叶变换时移性质 :

序列信号 在 " 时间 " 上 , 进行一系列 " 平移 " 之后 ,

平移 只是影响 序列信号傅里叶变换 的 " 相频特性 " ,

平移 没有影响 序列信号傅里叶变换 的 " 幅频特性 " ;

$x(n)$ 序列 线性移位 $-n_0$ 后 为 $x(n-n_0)$ ,

$x(n-n_0)$ 序列的 傅里叶变换 $SFT[x(n-n_0)]$ 是

原来的 $x(n)$ 序列 的 傅里叶变换 $SFT[x(n)]$ 乘以 $e^{-j\omega n_0}$ ;

使用公式表示为 :

$$SFT[x(n-n_0)]=e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega })$$

证明过程

傅里叶变换公式为 :

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

$x(n)$ 序列 , 在时间维度 $n$ 的基础上 , 平移 $n_0$ , 得到的序列是 $x(n-n_0)$ ,

代入 傅里叶变换 公式后得到 :

$$SFT[x(n-n_0)]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n-n_0)e^{-j\omega n}$$

令 $n^{\prime }=n-n_0$ , 则有 $n=n^{\prime }+n_0$ , 代入到上面的式子中 :

$$SFT[x(n-n_0)]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n^{\prime })e^{-j\omega (n^{\prime }+n_0)}$$

展开 $e^{-j\omega (n^{\prime }+n_0)}$ 得到 :