bzoj1019 [SHOI2008]汉诺塔

Posted 2020-08-21 CHADLZX

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，
大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

 

　　对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移
动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描
述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到
柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮
助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）
赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到
另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移
动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计
算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

 

这题比较神奇；

由于已经规定好了优先级，可以看出每一步的状态是已经固定死的，这题就是让我们计算最少走了多少步之后，B或C的上面会形成一个新的柱子；

我们想象一下，假如最终状态是B满了，那么一定会经过这么一个状态：A中只有一个最大的盘子，C上有1-n-1的所有盘子，这时只有一种选择，就是把A的最大盘子转到B上；

然后我们可以想象一下这个最大的盘子会怎么样，它还可能移动吗？答案是不可能，为什么？因为最终状态是全放在B上，如果最大盘子再移动，最终的状态就不会是全放在B上了；

最大盘子不可移动，因此可以发现每次的盘子移动是一个可递归的过程；

先将A上的n-1个盘子全放在C上的步数，再移动最大盘子到B盘上（这一步一定符合优先级），再算多少步C上的n-1个盘子会转到B上面；

具体看代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 #include<string>
 6 #include<ctime>
 7 #include<cmath>
 8 #include<set>
 9 #include<map>
10 #include<queue>
11 #include<algorithm>
12 #include<iomanip>
13 using namespace std;
14 #define FILE "dealing"
15 #define up(i,j,n) for(int i=(j);i<=(n);i++)
16 #define pii pair<int,int>
17 #define LL long long
18 namespace IO{
19     char buf[1<<15],*fs,*ft;
20     int gc(){return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?-1:*fs++;}
21     int read(){
22         int ch=gc(),f=0,x=0;
23         while(ch<\'0\'||ch>\'9\'){if(ch==\'-\')f=1;ch=gc();}
24         while(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-\'0\';ch=gc();}
25         return f?-x:x;
26     }
27 }using namespace IO;
28 const int maxn=42;
29 LL f[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
30 char s[7][3];
31 int n;
32 void dfs(int x,int i){
33     if(f[x][i])return;
34     if(i==1){
35         up(j,1,6)if(s[j][0]-\'A\'+1==x){g[x][i]=s[j][1]-\'A\'+1;break;}
36         f[x][i]=1;
37         return;
38     }
39     dfs(x,i-1);
40     int y=g[x][i-1],z=6-x-y;
41     dfs(y,i-1);
42     if(g[y][i-1]==z){
43         f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1];
44         g[x][i]=z;
45         return;
46     }
47     else {
48         f[x][i]=f[x][i-1]+2+f[x][i-1]+f[y][i-1];
49         g[x][i]=y;
50         return;
51     }
52     return;
53 }
54 int main(){
55     freopen(FILE".in","r",stdin);
56     freopen(FILE".out","w",stdout);
57     scanf("%d",&n);
58     up(i,1,6)scanf("%s",s[i]);
59     dfs(1,n);
60     printf("%lld\\n",f[1][n]);
61     return 0;
62 }

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