[bzoj1019] [SHOI2008]汉诺塔

Posted 2021-02-08 hbyer

Description

　　汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

　　对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

　　输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操
作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

　　只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

Solution

网上学来的神仙解法。。

首先，由于有优先级，答案是固定的，按题意模拟就是对的，只是时间复杂度不允许。

普通的汉诺塔的解法是这样的：先把前(n-1)块放在任意一个其他的柱子上，然后把最大的放好，在把前面的一堆弄上去。

递推式就是(d[n]=d[n-1]*2+1)。

由于题目保证有解，那么类似于上面的做法，由数学归纳法可得答案必然满足一个一阶递推式：(d[n]=d[n-1]*k+b)。

然后可以爆搜出前三项，得到参数，递推即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

#define write(x) printf("%lld
",x)

const int maxn = 2e5+10;

int s[10],n,d[100];
char c[10];
int r[4][5];

int trans(char *w) {return (w[1]-'A')*3+w[2]-'A';}

void work(int x) {
    int lst=-1;
    for(int i=1;i<=3;i++) r[i][0]=0;
    for(int i=x;i;i--) r[1][++r[1][0]]=i;
    for(int ans=1;ans<=60;ans++) {
        for(int i=1;i<=6;i++) {
            int a=s[i]/3+1,b=s[i]%3+1;
            if(!r[a][0]) continue;
            if(r[a][r[a][0]]==lst) continue;
            if((r[b][0]&&r[a][r[a][0]]<r[b][r[b][0]])||(!r[b][0])) {
                lst=r[b][++r[b][0]]=r[a][r[a][0]--];break;
            }
        }
        if(r[2][0]==x||r[3][0]==x) return d[x]=ans,void();
    }
}

signed main() {
    read(n);
    for(int i=1;i<=6;i++) scanf("%s",c+1),s[i]=trans(c);
    work(1);work(2);work(3);
    if(n<=3) return write(d[n]),0;
    int k=(d[3]-d[2])/(d[2]-d[1]),b=d[3]-d[2]*k;
    for(int i=4;i<=n;i++) d[i]=d[i-1]*k+b;
    write(d[n]);
    return 0;
}