余弦信号的傅里叶变换分析

Posted 2020-08-21 告别年代

1 加窗

对离散周期信号时域加窗会将无限长周期信号截断为有限长，于是在频域上原离散谱就会变为连续谱，由此降低分辨率（原单根谱线展开为窗函数谱的移位，因此分辨率主要受窗函数主瓣宽度影响）并产生泄漏（两个相邻谱线互相影响，因此泄漏主要受主瓣与旁瓣相对幅度的影响）。

矩形窗具有最窄的主瓣，但同时有最高的旁瓣。

2 谱采样

加窗序列的DFT给出了加窗序列（记为v[n]）的傅里叶变换（记为V(e^jω)）的等间隔采样。由于采样点未必位于V(e^jω)的峰值点，所以DFT峰的幅度不一定等于V(e^jω)峰的幅度。

然而，如果矩形窗函数刚好截出了整数个信号周期，那么DFT的峰必定等于V(e^jω)的峰，DFT峰的频率也必定等于V(e^jω)峰的频率，且DFT在其他采样点上刚好对应于V(e^jω)的零值点。对于单频信号这似乎是一个很漂亮的结果，但如果考虑更一般的信号，这种现象实际上使得我们无法看到其他频率处的值。通过对加窗后的信号补零，就可以使我们看到那些（当矩形窗刚好截出整数个周期时）原本看不到的频率点上的幅值。

这里要注意的是，虽说在计算DFT前先给加窗后的信号补零（提高DFT长度）可以得到频率等分更密集的傅里叶变换，但这不会提高频率分辨率，频率分辨率只取决于窗的长度和形状。补零只是让你看到原相邻两个频点之间的那些频率上的幅值（频域过采样），但原先分辨不出的频率补零后照样分辨不出。

更明确的说，窗函数的长度和形状决定频率分辨率，DFT长度决定相邻谱线间隔。

当（矩形）窗的长度等于DFT长度时，相邻谱线间隔就等于频率分辨率。