数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 cosωn 的傅里叶变换 | 复变函数欧拉公式 )

Posted 韩曙亮

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一、求 cosωn 傅里叶变换


求 cos ⁡ ω 0 n \\cos\\omega_0n cosω0​n 的傅里叶变换 S F T [ cos ⁡ ω 0 n ] SFT[\\cos\\omega_0n] SFT[cosω0​n] ?


0、cosωn 序列分析


∑ n = − ∞ + ∞ ∣ cos ⁡ ω 0 n ∣ = ∞ \\sum_n=-\\infty^+\\infty|\\cos\\omega_0n| = \\infty n=−∞∑+∞​∣cosω0​n∣=∞

cos ⁡ ω 0 n \\cos\\omega_0n cosω0​n 序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为 ∞ \\infty ∞ , 但是其有傅里叶变换 ;

绝对可和 与 存在傅里叶变换 关系如下 :

  • 如果 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
  • 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 δ ( ω ) \\delta(\\omega) δ(ω) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍


傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^j\\omega) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty x(n) e^-j \\omega n X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn


傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \\cfrac12\\pi \\int_-\\pi ^\\pi X( e^j \\omega )e^j \\omega k d \\omega x(n)=2π1​∫−ππ​X(ejω)ejωkdω


2、复变函数欧拉公式介绍


复变函数 欧拉公式 :

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x      ① e^ix = \\cos x + i \\sin x \\ \\ \\ \\ ① eix=cosx+isinx    ①

e − i x = cos ⁡ x − i sin ⁡ x      ② e^-ix = \\cos x - i \\sin x \\ \\ \\ \\ ② e−ix=cosx−isinx    ②

单位复指数序列特点 :

e j ( ω 0 n + 2 k π n ) = e j ω 0 n       k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ e^j (\\omega _0 n + 2k\\pi n) = e^j \\omega_0 n \\ \\ \\ \\ \\ k = 0, \\pm1 , \\pm 2, \\cdots ej(ω0​n+2kπn)=ejω0​n     k=0,±1,±2,⋯

对 ω \\omega ω 来说 一定是以 2 π 2\\pi 2π 为周期 ;


① 与 ② 相加 , 可以得到 :

cos ⁡ x = e i x + e − i x 2      公 式 ③ \\cos x = \\cfrace^ix + e^-ix2 \\ \\ \\ \\ 公式③ cosx=2eix+e−ix​    公式③

① 与 ② 相减 , 可以得到 :

sin ⁡ x = e i x − e − i x 2 i      公 式 ④ \\sin x = \\cfrace^ix - e^-ix2i \\ \\ \\ \\ 公式④ sinx=2ieix−e−ix​    公式④


可参考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066


3、求 cosωn 的傅里叶变换推导过程


直接 对

c o s ω 0 n cos \\omega_0 n cosω0​n

使用

cos ⁡ x = e i x + e − i x 2      公 式 ③ \\cos x = \\cfrace^ix + e^-ix2 \\ \\ \\ \\ 公式③ cosx=2eix+e−ix​    公式③

公式 ,

可以得到 :

cos ⁡ ω 0 n = e i ω 0 n + e − i ω 0 n 2      ⑤ \\cos \\omega_0 n = \\cfrace^i\\omega_0 n + e^-i\\omega_0 n2 \\ \\ \\ \\ ⑤ cosω0​n=2eiω0​n+e−iω0​n​    ⑤

求上述

e i ω 0 n + e − i ω 0 n 2 \\cfrace^i\\omega_0 n + e^-i\\omega_0 n2 2eiω0​n+e−iω0​n​

序列的傅里叶变换 ,

在 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了 e i ω 0 n e^i\\omega_0 n eiω0​n 的傅里叶变换 , 结果是 :

S F T [ e j ω 0 n ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ( ω − ω 0 ) = 2 π δ ~ ( ω − ω 0 ) SFT[e^j \\omega_0 n] = \\sum_n=-\\infty^+\\infty e^ -j ( \\omega - \\omega_0 ) =2 \\pi \\widetilde\\delta ( \\omega - \\omega_0 ) SFT[ejω0​n]=n=−∞∑+∞​e−j(ω−ω0​)=2以上是关于数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 cosωn 的傅里叶变换 | 复变函数欧拉公式 )的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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