线性方程组 II

Posted 2020-08-19

当方程组的未知数个数不等于方程个数时，用高斯消元法得到的是行阶梯型矩阵。此时每个主元所在的列可作为方程组的基本列，基本列的个数为矩阵的秩。选择的列可以不同，但个数唯一。即：

当用高斯约当法消减时，可看出非基本列是基本列的线性组合：

事实上对线性方程组或者说矩阵的理解有这么几个角度：

 1、从行的方向来看

　　每一行的方程就代表一条直线，解方程组就是找到这些直线的交点。

2、从列的方向来看

 　　可看作列的线性组合，第一列对应第一个未知数，以此类推。方程组的解就是找到这样一组系数，使得矩阵每一列乘以对应未知数系数后，线性组合起来可以得到常数向量。

线性方程组的一致性
m个方程n个未知数的线性方程组如果至少有一个解则称为一致，否则非一致。一致性即是否有解判断：

齐次方程组

• 等式右边为零向量，方程组至少有零解。
• 系数矩阵高斯消去后得到的行阶梯型矩阵的基本列对应的变量为基本变量，其余为自由变量。
• 没有自由变量时解唯一，即只有零解，此时rank(A)=n。否则有无穷多解。

非齐次方程组
方程组可能无解，解的结构为：非齐次方程组特解+齐次方程组通解。

解唯一的条件：