线性代数带参数的线性方程组的求法示例详解

Posted ShenLiang2025

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线性方程组的求法与示例详解

线性方程组

由n个1维未知量,m个方程组成的组合叫做线性方程组。

特别的当方程组右边的值全都是0时叫做齐次线性方程组。

增广矩阵

在系数矩阵的右边添上一列,该列由线性方程组等号右边的值按照顺序拼接而成,该新的矩阵叫做方程组的增广矩阵。针对如下线性方程组,我们不难得到

其系数矩阵(即由每个未知量前的系数按照顺序组成的矩阵)是

而我们假设一列(方程组右边的值)构成新的矩阵即叫做该方程组的增广矩阵

或者更一般的,如果我们把线性方程组简写为Ax=b那么增广矩阵B可以记作(A,b)。

矩阵的秩

设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式全等于0,则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。不难发现矩阵的秩有如下特点:

  • 矩阵的秩 R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。
  • r(A) = m 取了所有的行,叫行满秩
  • r(A) = n 取了所有的列,叫列满秩
  • r(A) < min{m,n}则叫做降秩
  • A是方阵,A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0,所以可逆)
  • r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0,所有r+1阶子式为0
  • 矩阵A(m乘n阶)左乘m阶可逆矩阵P,右乘n阶可逆矩阵Q,或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。
  • 对矩阵实施(行、列)初等变换不改变矩阵的秩
  • 阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。
  • A的秩等于A转置的秩
  • 任意矩阵乘可逆矩阵,秩不变

线性方程组与矩阵的秩

针对n元线性方程组Ax=b,它的解有如下情况:

  • 无解的充要条件是R(A)<R(A,b)
  • 有唯一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n
  • 有无穷解得充要条件是R(A)=R(A,b)<n

带参数的线性方程组的求法

该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

#Sample1(示例一),针对下列线性方程组,讨论其解的情况:

当a和b分别取什么值时

  1. 线性方程组有唯一解
  2. 线性方程组无解
  3. 线性方程组有无穷解,并求出通解。

解:

针对情况一:

线性方程组有唯一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n

Step1:这里我们构造增广矩阵 =

Step2:第1行的-3倍加到第4行上去,则此时化为:

Step3:针对step2,以第2行为轴,将第2行的1倍加到第3、4行上去,则化为:

Step4:结合方程组唯一解条件,即R(A)=R(A,b)=n,这里n=4,那么比较容易得出a≠1时满足条件。即当a≠1时线性方程组有唯一解。

针对情况二:当R(A)<R(A,b)时无解,由Step3里化简后的阶梯矩阵可知

当a=1且b≠-1时R(A)=2,而R(A,b)=3即满足R(A)<R(A,b)。

所以a=1且b≠-1时线性方程组无解。

针对情况三:当R(A)=R(A,b)<n(n=4)时有无穷解。由Step3里化简后的阶梯矩阵可知

当a=1且b=-1时R(A)=2, R(A,b)=2,且都小于4,

所以当a=1且b=-1时线性方程组有无穷解。

关于通解:

对Step3里接着化简,即将第1列的-1倍加到第2、3、4列上去,则得到:

那么我们容易得到原线性方程组等价于下式:

 

那么该线性方程组的一般解

其中 为任意常数。

以上是关于线性代数带参数的线性方程组的求法示例详解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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