线性代数带参数的线性方程组的求法示例详解

Posted 2022-05-21 ShenLiang2025

线性方程组的求法与示例详解

线性方程组

由n个1维未知量，m个方程组成的组合叫做线性方程组。

特别的当方程组右边的值全都是0时叫做齐次线性方程组。

增广矩阵

在系数矩阵的右边添上一列，该列由线性方程组等号右边的值按照顺序拼接而成，该新的矩阵叫做方程组的增广矩阵。针对如下线性方程组，我们不难得到

其系数矩阵（即由每个未知量前的系数按照顺序组成的矩阵）是

而我们假设一列(方程组右边的值)构成新的矩阵即叫做该方程组的增广矩阵

或者更一般的，如果我们把线性方程组简写为Ax=b那么增广矩阵B可以记作(A,b)。

矩阵的秩

设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。不难发现矩阵的秩有如下特点：

• 矩阵的秩 R(A)大于等于0小于等于minm,n。
• r(A) = m 取了所有的行，叫行满秩
• r(A) = n 取了所有的列，叫列满秩
• r(A) < minm,n则叫做降秩
• A是方阵，A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0，所以可逆)
• r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式为0
• 矩阵A（m乘n阶）左乘m阶可逆矩阵P，右乘n阶可逆矩阵Q，或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。
• 对矩阵实施(行、列）初等变换不改变矩阵的秩
• 阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。
• A的秩等于A转置的秩
• 任意矩阵乘可逆矩阵，秩不变

线性方程组与矩阵的秩

针对n元线性方程组Ax=b，它的解有如下情况：

• 无解的充要条件是R(A)<R(A,b)
• 有唯一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n
• 有无穷解得充要条件是R(A)=R(A,b)<n

带参数的线性方程组的求法

该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。

#Sample1（示例一），针对下列线性方程组，讨论其解的情况：

当a和b分别取什么值时

1. 线性方程组有唯一解
2. 线性方程组无解
3. 线性方程组有无穷解，并求出通解。

解：

针对情况一：

线性方程组有唯一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n

Step1：这里我们构造增广矩阵 =

Step2：第1行的-3倍加到第4行上去，则此时化为：

Step3：针对step2，以第2行为轴，将第2行的1倍加到第3、4行上去，则化为：

Step4：结合方程组唯一解条件，即R(A)=R(A,b)=n，这里n=4，那么比较容易得出a≠1时满足条件。即当a≠1时线性方程组有唯一解。

针对情况二：当R(A)<R(A,b)时无解，由Step3里化简后的阶梯矩阵可知

当a=1且b≠-1时R(A)=2,而R(A,b)=3即满足R(A)<R(A,b)。

所以a=1且b≠-1时线性方程组无解。

针对情况三：当R(A)=R(A,b)<n（n=4）时有无穷解。由Step3里化简后的阶梯矩阵可知

当a=1且b=-1时R(A)=2, R(A,b)=2，且都小于4，

所以当a=1且b=-1时线性方程组有无穷解。

关于通解：

对Step3里接着化简，即将第1列的-1倍加到第2、3、4列上去，则得到：

那么我们容易得到原线性方程组等价于下式：

 

那么该线性方程组的一般解

其中 为任意常数。