线性代数之矩阵秩的求法与示例详解

Posted 2021-09-07 ShenLiang2025

线性代数之矩阵秩的求法

K阶子式的定义

在m×n的矩阵A中，任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n)，位于这些行和列交叉处的 个元素，在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。

不难发现矩阵A有个 个k阶子式。

 比如有矩阵A

比如取第1行，第3行，第1列，第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作 ：

即其中的一个2阶子式是：

矩阵秩的定义

设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。不难发现矩阵的秩有如下特点：

•  R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。
• r(A) = m 取了所有的行，叫行满秩
• r(A) = n 取了所有的列，叫列满秩
• r(A) < min{m,n}则叫做降秩
• A是方阵，A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0，所以可逆)
• r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式为0
• 矩阵A（m乘n阶）左乘m阶可逆矩阵P，右乘n阶可逆矩阵Q，或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。
• 对矩阵实施(行、列）初等变换不改变矩阵的秩
• 阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。
• A的秩等于A转置的秩
• 任意矩阵乘可逆矩阵，秩不变

矩阵秩的求法

定义法

该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。

#Sample1（示例一），求下列矩阵的秩：

A=

针对矩阵A，我们先找它的一个3阶子式看看是否为0，比如我们找的是

很显然该三阶子式等于-1≠0，所以该矩阵的秩是3。

因为当前矩阵没有4阶子式子，所以3是该矩阵的最高阶。

#Sample2（示例二）：已知矩阵A

，如果R(A)<3,求a。

Step1：这种已知矩阵的秩求参数的题目需要借助秩的定义。因为当前矩阵A是3阶的，而R(A)又小于3，那么A的三阶子式(即A本身)为0。

Step2：可按照行(列)将第2、3行(列)都加到第1行(列)上去，然后提取公因子a+2,

Step3：再以第1行（列）为轴，消除其它行(列)进而得到

Step4：（a+2） =0 所以a=-2或者a=1。

类似的,#Sample3（示例三）如果如下的矩阵A的秩R(A)等于3那么k等多少呢？

思路:该题的思路跟上例类似，不过这里解出的k（k=1或者k=-3）需要带回原矩阵里核验下，而k=1时R(A)=1和题目的条件冲突，所以k只能为-3。

阶梯型数非零行数

分两步:

第一步先将原矩阵化简成阶梯型矩阵

第二步数新矩阵的非零行行数，该函数即对应原矩阵的秩。

#Sample4（示例四）：示例，求如下矩阵A的秩

Step1：第1行的-2倍加到第2行上去、第1行的1倍加到第三行上去，于是得到

Step2：针对上述矩阵，将第2行加到第3行上去，于是得到

Step3：此时我们已经能输出非0行的函数即2，所以矩阵A的秩是2。

阶梯型画台阶

我们可以借助阶梯的图形化方式勾出台阶数，见下图示例#Sample5（示例五）：

 

注：1 画阶梯(台阶下的元素全为0)数台阶，台阶水平方向可跨多列，垂直(列)方向不能跨多行（即一次只能有1个台阶）。

2 该方法本质上属于阶梯型，只是操作时以图形化数台阶的方式。