NOIP2009Hankson 的趣味题[唯一分解定理|暴力]

Posted 2020-08-16 Candy?

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现

在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现

在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公

倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整

数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的

x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮

助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每

行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入

数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

 

输出格式：

 

输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

 

输入输出样例

输入样例#1：

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出样例#1：

6 
2

说明

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

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1.在线分解a0,a1,b0,b1的质因子，然后判断每个质因子有几种选择，乘法原理即可

首先，题目保证ea0>=ea1和eb0<=eb1

对于a0和a1，

ea0>ea1则ex0=ea1

ea0==ea1则ex0>=ea1

同样像b0和b1

判断的时候不用特别繁琐，可以简化一下，只处理不成立(*0)和多种选择的

 

2.暴力枚举b1的约数+各种优化

推导:

lcm(x,b0)=x*b0/gcd(x,b0)=b1 => b1*gcd(x,b0)=x*b0 => gcd(x,b0)=x*b0/b1 => gcd(b1/b0,b1/x)=1

优化一:gcd(a,b)=c -->gcd(a/c,b/c)=1

优化二:先判断整除

注意因子枚举到sqrt(b1)而不是sqrt(b1)+1，然后i和b1/i都要试试

//唯一分解定理
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=50005;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,a0,a1,b0,b1,a,b,ans;
int vis[N],p[N],cnt=0;
void era(int n){
    int m=sqrt(n)+1;
    for(int i=2;i<=m;i++) if(!vis[i])
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i) vis[j]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
}
void solve(int p){
    int ea0=0,ea1=0,eb0=0,eb1=0;
    while(a0%p==0) ea0++,a0/=p;
    while(a1%p==0) ea1++,a1/=p;
    while(b0%p==0) eb0++,b0/=p;
    while(b1%p==0) eb1++,b1/=p;
    if(ea0==ea1&&eb0==eb1){
        if(ea1<=eb1) ans*=eb1-ea1+1;
        else ans=0;
    }else if(ea0!=ea1&&eb0!=eb1&&ea1!=eb1) ans=0;
}
int main(int argc, const char * argv[]){
    era(50000);
    n=read();
    while(n--){
        a0=read();a1=read();b0=read();b1=read();
        ans=1;
        for(int i=1;i<=cnt;i++) solve(p[i]);
        if(b1!=1) solve(b1);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

//暴力
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=50005;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,a0,a1,b0,b1,a,b;
inline int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
inline int cal(int i){
    if(i%a1) return 0;
    else return gcd(i/a1,a)==1&&gcd(b,b1/i)==1;
}
int main(int argc, const char * argv[]){
    n=read();
    while(n--){
        a0=read();a1=read();b0=read();b1=read();
        int ans=0,m=sqrt(b1);
        a=a0/a1,b=b1/b0;
        for(int i=1;i<=m;i++) if(b1%i==0){
            ans+=cal(i);
            if(i*i!=b1) ans+=cal(b1/i);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}