2009年NOIP提高组真题-HanKson的趣味题（GCD&LCM优化）

Posted 2023-04-06 九院不知名高手-猫吃耗子

2009年NOIP提高组真题-HanKson的趣味题（GCD&LCM优化）

本题的编码是用Python实现的，C++的思路也是相同的。

希望本文能够帮助到你！

题目：

暴力法：

直接根据题目的要求写：

from math import gcd
def lcm(a, b):
    return a*b//gcd(a, b)
n = int(input())
for _ in range(n):
    cnt = 0
    a0, a1, b0, b1 = map(int, input().split())
    for x in range(1, b1 + 1):
        # 如果b1不能被x整除，x肯定不满足要求。
        if b1 % x != 0: continue
        if gcd(x, a0) == a1 and lcm(x, b0) == b1:
            cnt += 1
    print(cnt)

代码中有个小细节：

# 如果b1不能被x整除，x肯定不满足要求。
if b1 % x != 0: continue

这样可以减少一些不必要的计算。

根据题意，时间复杂度大概是O(n**2)，具体一点数据量会达到百亿级别❗️

而python本来就比较慢，暴力写法必定会跑不出来，必须要进行优化才行。

优化：

由题意知：x和b0的最大公倍数是b1，我们假设一个y，x * y == b1，y可能是答案。优化如下：

from math import gcd
def lcm(a, b):
    return a*b//gcd(a, b)
n = int(input())
for _ in range(n):
    cnt = 0
    a0, a1, b0, b1 = map(int, input().split())
    # 1 <= x <= sqrt(b1) <= y <= b1
    # x, y 可以取到1到b1的所有值。
    for x in range(1, int(b1**0.5)+1):
        if b1 % x != 0: continue
        y = b1 // x
        if gcd(x, a0) == a1 and lcm(x, b0) == b1:
            cnt += 1
        # 如果该数已经被判断过则跳过。
        if x == y: continue
        if gcd(y, a0) == a1 and lcm(y, b0) == b1:
            cnt += 1
    print(cnt)

具体的GCD和LCM手写法可以看这篇文章

若出现错误，欢迎指出。

祝大家在学习的道路上能取得大的进步！

NOIP真题汇总

想想在NOIP前总得做做真题吧，于是长达一个月的刷题开始了

涉及2008-2016年大部分题目

NOIP [2008] 4/4

1、传纸条：清真的三维DP

2、笨小猴：字符串模拟

3、火柴棒等式：打表+循环

4、双栈排序：贪心+栈

 

NOIP [2009] 3/4

2、Hankson的趣味题：数论，gcd相关

3、最优贸易：建图+SPFA

4、靶形数独：较难搜索+剪枝

 

NOIP [2010] 4/4

1、引水入城：DP+bfs（较好）

2、关押罪犯：贪心+并查集

3、机器翻译：模拟

4、乌龟棋：简单DP

 

NOIP [2011] 5/6

1、铺地毯：模拟

2、选择客栈：DP

3、Mayan游戏：较难搜索

4、计算系数：组合数

5、聪明的质检员：二分答案+前缀和

 

NOIP [2012] 4/6

1、Vigenère 密码：字符串

2、国王游戏：贪心+高精

4、同余方程：扩欧

5、借教室：二分答案+前缀和

 

NOIP [2013] 5/6

1、转圈游戏：快速幂

2、火柴排队：逆序对+贪心

3、货车运输：最小生成树+lca

4、积木大赛：递推或者分治

5、花匠：简单DP

 

NOIP [2014] 6/6

1、生活大爆炸版石头剪刀布：模拟

2、联合权值：类树形DP

3、飞扬的小鸟：类背包DP

4、无线网络发射器选址：模拟

5、寻找道路：图论，反向bfs

6、解方程：秦九韶

 

NOIP [2015] 6/6

1、神奇的幻方：模拟

2、信息传递：拓扑排序

3、斗地主：较难搜索

4、跳石头：二分答案

5、子串：DP

6、运输计划：二分答案+树上差分

 

NOIP [2016] 6/6

1、玩具谜题：模拟

2、天天爱跑步：lca+树上差分

3、换教室：floyd+概率DP

4、组合数问题：组合数

5、蚯蚓：队列

6、愤怒的小鸟：状态压缩DP