NOIP2009 T2 Hankson的趣味题

Posted 2020-10-12 WYBIACX

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题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

 

输出格式：

 

输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出样例#1： 复制

6 
2

说明

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

 

很明显的，读题可得下面两个方程：

gcd(x,a0) = a1；　　------------------------------#5

lcm(x,b0) = b1;

对于50%的数据来说，直接从a1枚举到b1然后判断就行。

对于100%数据，显然这样暴力枚举是会超时的。

由上面第二个方程可得：

x0*b0/gcd(x0,b0) = b1;

移项得：

gcd(x0,b0) = x0*b0/b1;  --------------------------#6

因为（x0*b0/b1）是x0,b0的最大公约数， 两边同时除以x0*bo/b1得：

gcd(b1/b0,b1/x) = 1;   -----------------------------#1

同理，对于第一个方程，两边除以一个a1得：

gcd(x/a1,a0/a1) = 1;  ------------------------------#2

 

由#1 ，#2两方程可以看出，x是b1的因子，a1是x的因子。

所以我们只要枚举b1的因子（1-> sqrt(b1)），然后判定其是否满足#5与#6。

 

下面贴代码，有问题留言。

 

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,a0,a1,b0,b1,ans;
int gcd(int a,int b){
    return (b==0?a:gcd(b,a%b));
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        ans = 0;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        int bq = sqrt(b1);
        for(int i = 1;i<=bq;i++){
            if(b1%i == 0){
                if(gcd(i,a0) == a1 && gcd(i,b0)*b1 == i*b0) ++ans;
                int j = b1 / i;       //枚举另一个因子 
                if(j == i) continue;
                if(gcd(j,a0) == a1 && gcd(j,b0)*b1 == j*b0) ++ans;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}