Noip2009 Hankson的趣味题

Posted 2020-11-21 hankeke

Description

Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现
在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数(c_1) 和(c_2) 的最大公约数和最小公倍数。现
在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公
倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数(a_0),(a_1),(b_0),(b_1)，设某未知正整
数x 满足：
1． (x) 和(a_0) 的最大公约数是(a_1)；
2． (x) 和(b_0) 的最小公倍数是(b_1)。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的
(x) 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的(x) 的个数。请你帮
助他编程求解这个问题。

Input

第一行为一个正整数(n)，表示有(n) 组输入数据。接下来的n 行每
行一组输入数据，为四个正整数(a_0)，(a_1)，(b_0)，(b_1)，每两个整数之间用一个空格隔开。输入
数据保证(a_0) 能被(a_1) 整除，(b1) 能被(b_0) 整除。

Output

每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 (x)，请输出0；
若存在这样的 (x)，请输出满足条件的(x)的个数；

Sample Input

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

Sample Output

6
2

Hint

【说明】
第一组输入数据，(x) 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。
第二组输入数据，(x) 可以是48、1776，共有2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据，保证有1≤(a_0)，(a_1)，(b_0)，(b_1)≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据，保证有1≤(a_0)，(a_1)，(b_0)，(b_1)≤2,000,000,000 且n≤2000。

题解

90分算法

我们把题目的内容表示一下
[ left{ egin{align*} gcd(a_0,x)&=a_1lcm(b_0,x)&=b_1\end{align*} ight. ]
显然，x一定是(b_1)的因数，一定是(a_1)的倍数。假设m表示(a_0)，(a_1)，(b_0)，(b_1)的大小，我们可以(O(sqrt m))枚举(b_1)的约数x，然后判断x满不满足上面的方程组即可。由于gcd和lcm的时间复杂度都是(O(log m))，有(n)次询问，所以总时间复杂度为(O(n sqrt m log m))。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

template<typename A>inline void read(A&a){a=0;A f=1;int c=0;while(c<'0'||c>'9'){c=getchar();if(c=='-')f*=-1;}while(c>='0'&&c<='9'){a=a*10+c-'0';c=getchar();}a*=f;}
template<typename A,typename B>inline void read(A&a,B&b){read(a);read(b);}
template<typename A,typename B,typename C>inline void read(A&a,B&b,C&c){read(a);read(b);read(c);}

typedef long long ll;

int T;
int a0,a1,b0,b1,ans;

inline int gcd(int x,int y){return x%y==0?y:gcd(y,x%y);}
inline int lcm(int x,int y){return x/gcd(x,y)*y;}
inline bool check(int x){return gcd(x,a0)==a1&&lcm(x,b0)==b1;}

void Init(){
    read(a0,a1);
    read(b0,b1);
    ans=0;
}

void Work(){
    int t=sqrt(b1);
    for(register int i=1;i<=t;++i){
        if(!(b1%i)){
            if(check(i))++ans;
            if(b1/i!=i)if(check(b1/i))++ans;
        }
    }
    printf("%d
",ans);
}

int main(){
    read(T);
    while(T--){
        Init();
        Work();
    }
    return 0;
} //鉴于这个代码是我一年前写的，所以如果码风不大正常还请见谅。

这个算法在当年Noip的时候可以拿90分，但是在洛谷神机和codevs里面就可以过了。

100分做法

我们把上面的式子再放一遍。
[ left{ egin{align*} gcd(a_0,x)&=a_1lcm(b_0,x)&=b_1\end{align*} ight. ]
因为(x)是(b_1)的约数，所以x的质因子一定是(b_1)拥有的。所以我们可以对于p的每一个质因子，计算x可以拥有多少个。
我们枚举(b_1)的质因数p,设(a_0)，(a_1)，(b_0)，(b_1)的分别有(m_{a_0})，(m_{a_1})，(m_{b_0})，(m_{b_1})个，x有(m_x)个。
对于(gcd(a_0,x)=a_1)这个式子，我们有三种情况：
[ left{ egin{align*} m_{a_0} > m_{a_1} quad &Rightarrow quad m_x = m_{a_1}m_{a_0} = m_{a_1} quad &Rightarrow quad m_x geq m_{a_1}m_{a_0} < m_{a_1} quad &Rightarrow quad ext{无解}\end{align*} ight. ]

对于(lcm(b_0,x)=b_1)这个式子，我们也有如下三种情况：
[ left{ egin{align*} m_{b_0} > m_{b_1} quad &Rightarrow quad ext{无解}m_{b_0} = m_{b_1} quad &Rightarrow quad m_x leq m_{b_1}m_{b_0} < m_{b_1} quad &Rightarrow quad m _x = m_{b_1}\end{align*} ight. ]

那么我们现在把上面集中情况整合一下：有如下几种情况：
[ left{ egin{align*} m_{a_0} > m_{a_1} , m_{b_0} < m_{b_1} , m_{a_1} = m_{b_1} qquad &Rightarrow qquad m_x ext{有$1$中取法}m_{a_0} > m_{a_1} , m_{b_0} = m_{b_1} , m_{a_1} leq m_{b_0} qquad &Rightarrow qquad m_x ext{有$1$中取法}m_{a_0} = m_{a_1} , m_{b_0} < m_{b_1} , m_{a_0} leq m_{b_1} qquad &Rightarrow qquad m_x ext{有$1$中取法}m_{a_0} = m_{a_1} , m_{b_0} = m_{b_1} , m_{a_1} leq m_{b_1} qquad &Rightarrow qquad m_x ext{有$m_{b_1}-m_{a_1}+1$中取法}\text{其他情况} qquad &Rightarrow qquad ext{无解}\end{align*} ight. ]

我们把(cnt_p)表示(m_x)的取值个数，（无解即为0）,那么我们只要求出
[pi limits_{ ext{质数}p|d}{s} cnt_p]