反演公式

Posted 2020-08-15

反演公式
$g(n)=\\sum _{k}C_{n}^{k}(-1)^{k}f(k)\\Leftrightarrow f(n)=\\sum _{k}C_{n}^{k}(-1)^{k}g(k)$

证明
这里只由左边证明右边。
假设对所有的$n\\geq 0$都有$g(n)=\\sum _{k}C_{n}^{k}(-1)^{k}f(k)$，那么有
$\\sum _{k}C_{n}^{k}(-1)^{k}g(k)$
$=\\sum _{k}C_{n}^{k}(-1)^{k}\\sum _{j}C_{k}^{j}(-1)^{j}f(j)$
$=\\sum _{j}f(j)\\sum_{k}C_{n}^{k}(-1)^{k+j}C_{k}^{j}$
$=\\sum _{j}f(j)\\sum_{k}C_{n}^{j}(-1)^{k+j}C_{n-j}^{k-j}$
$=\\sum _{j}f(j)C_{n}^{j}\\sum_{k}(-1)^{k+j}C_{n-j}^{k-j}$
$=\\sum _{j}f(j)C_{n}^{j}\\sum_{k-j}(-1)^{k-j+2j}C_{n-j}^{k-j}$
$=\\sum _{j}f(j)C_{n}^{j}\\sum_{k-j}(-1)^{k-j}C_{n-j}^{k-j}$
$=\\sum _{j}f(j)C_{n}^{j}\\sum_{k}(-1)^{k}C_{n-j}^{k}$
$=\\sum _{j}f(j)C_{n}^{j}[n-j=0]$
$=f(n)$
这里从第三行到第四行的转移用到了这里的第12个公式。另外，倒数第三行到倒数第二行的转移中，$\\sum_{k}(-1)^{k}C_{n-j}^{k}$这个和式只有当n-j等于0时为1，n-j大于0时，为0，当n-j<0时，前面的$C_{n}^{j}$为0.