组合数学 02 - Möbius反演公式

Posted 2020-08-06 万物皆数

　　计数问题种类繁多，为了避免陷入漫无目的烧脑运动，我们先需要关注一些常用方法和结论。数学的抽象性和通用性是我们一直推崇的，从诸多特殊问题中发现一般性的方法，也总会让人兴奋和慨叹。一般教材多是以排列组合开篇，采用了一些技巧性很强的初等方法来讨论组合计数，我倒觉得可以直接先掌握一些锋利的工具，到时再看那些问题，会有快刀斩乱麻之快感。

1. 关联代数

1.1 一个例子

　　为了对反演公式有个直观的认识，我们从一个简单的问题说起，考察数列的求和公式（1）。左式表示当知道数列的每一项\\(a_n\\)时，就可以得到前\\(n\\)项的和\\(s_n\\)，右式表示知道和\\(s_n\\)也可以反推到项\\(a_n\\)。整理一下这段陈述中的要素，有两个定义在自然数集上的函数\\(f(n),g(n)\\)，\\(f(n)\\)可以由\\(g(1),\\cdots,g(n)\\)线性表出，\\(g(n)\\)也可以由\\(f(1),\\cdots,f(n)\\)线性表出，结论是这两个线性表出是等价的，由其中一个可以推导出另一个。

\\[s_n=a_1+a_2+\\cdots+a_n\\;\\Leftrightarrow\\;a_n=s_n-s_{n-1}\\tag{1}\\]

　　这样的互逆推导现象被称为反演，现在来深入寻找其中的模式。有了线性代数的知识，以上推导式其实就是一个简单的线性方程组（式（2））。有两点需要强调，一点是由于递推式的特点，两边的矩阵都是下三角可逆矩阵。另一点是，这个表达式对任意的\\(n\\)都成立，其中的向量和方阵都可以看成是无限维的。第二点让我们把注意力吸引到了方阵上（设两边分别为\\(A,B\\)），因为不管\\(n\\)是多少，两边的方阵在\\(a_{ij},b_{ij}\\)的取值都是相同的！

\\[\\begin{bmatrix}s_1\\\\s_2\\\\\\vdots\\\\s_n\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}1&&&\\\\1&1&&\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\\\1&\\cdots&1&1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}a_1\\\\a_2\\\\\\vdots\\\\a_n\\end{bmatrix}\\;\\Leftrightarrow\\;\\begin{bmatrix}a_1\\\\a_2\\\\\\vdots\\\\a_n\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}1&&&\\\\-1&1&&\\\\&\\ddots&\\ddots&\\\\&&-1&1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}s_1\\\\s_2\\\\\\vdots\\\\s_n\\end{bmatrix}\\tag{2}\\]

1.2 偏序集

　　看来我们已经把问题引入到了无限维下三角方阵上来，而讨论的目标则是它的逆元。为了得到这样的扩展，我们用另一种方法来描述下三角方阵。首先它定义在正整数集的二元关系\\((x,y)\\)上，其次只有当\\(x\\geqslant y\\)时有意义。我们知道正整数集是一个全序集，任意两个数之间都是“可比”的，下三角矩阵就是“可比”关系的函数。既然要扩展定义，我们不妨把这个函数定义在稍弱一点的“序集”上，只需要局部是“可比”的，反演在局部应该也是有意义的。

　　具体来说，我们来回顾集合论中的偏序集，定义集合\\(X\\)的二元关系\\(\\geqslant\\)，它满足自反率、反对称性、传递性，并称之为偏序。定义了偏序的集合也称为偏序集（partially ordered set），其中有二元关系的两个元素称为可比的，可比元素之间的所有元素称为截断，记为\\([x,y]\\)。偏序集可以用Hasse图来直观地表示，图中只连接了直接可比的元素（上大下小），整体看起来呈现网状结构。除了整数集之外，常见的偏序集还有：集合间的包含关系、正整数间的整除关系等。

　　偏序集可以是无限的，但为了便于讨论，我们假定局部是有限的，即\\([x,y]\\)是有限集。如果把偏序关系全部倒过来，得到的显然还是偏序集，且和原集是同构的，没有本质区别，它们称为对偶的。另外，对于偏序集\\(X_1,X_2,\\cdots,X_n\\)，容易知道直积\\(X_1\\times\\cdots\\times X_n\\)在式（3）定义下也是偏序集。如果记\\(n\\)元集合的所有子集在包含关系下的偏序集为\\(B(n)\\)，则易知它同构于\\(n\\)个\\(2\\)元链\\(L_2\\)的直积\\(L_2^n\\)。再记\\(n\\)之内的整数在整除关系下的偏序集为\\(D(n)\\)，设\\(n=p_1^{e_1}\\cdots p_k^{e_k}\\)，则易知它同构于\\(L_{e_1+1}\\times\\cdots\\times L_{e_k+1}\\)。

\\[(x_1,x_2,\\cdots,x_n)\\geqslant(y_1,y_2,\\cdots,y_n)\\;\\Leftrightarrow\\;x_1\\geqslant y_1\\wedge\\cdots\\wedge x_n\\geqslant y_n\\tag{3}\\]

1.3 关联代数

　　现在在偏序关系\\(X\\)上定义函数\\(\\alpha(x,y)\\in X\\times X\\to\\Bbb{R}\\)，当\\(x\\not\\geqslant y\\)时\\(\\alpha(x,y)=0\\)。为讨论它们的代数结构，记所有函数的集合为\\(I(X)\\)，在上面定义加法和数乘是平凡的。参考矩阵乘法的定义，可以按式（4）定义函数的乘法\\(\\alpha\\beta\\)，可以证明乘法满足结合律。在抽象代数中我们知道，这样的结构叫做结合代数，在这里我们称它为偏序集\\(X\\)的关联代数（incidence algebra），也记作\\(I(X)\\)。

\\[(\\alpha\\beta)(x,y)=\\sum_{x\\geqslant z\\geqslant y}\\alpha(x,z)\\beta(z,y)\\tag{4}\\]

　　容易验证以下函数\\(\\delta\\)就是关联代数的单位元，下面讨论关联代数中的逆元。假设\\(\\beta\\alpha=\\delta\\)，固定\\(x\\)的值，由乘法的定义可有式（6）。如果\\(\\alpha(x,x)\\ne 0\\)，显然可递推得到任何一个\\(\\beta(x,y)\\)，这就得到了\\(\\alpha\\)存在逆元的充要条件：\\(\\alpha(x,x)\\ne 0\\)。还可以确定，\\(\\beta(x,y)\\)完全取决于\\(z\\in[x,y]\\)上\\(\\alpha(z,y)\\)的值。另外值得注意的是，逆元\\(\\beta\\)不仅与\\(\\alpha\\)有关，还与偏序集的结构有关。

\\[\\delta(x,y)=\\left\\{\\begin{matrix}1,&(x=y)\\\\0,&(x\\ne y)\\end{matrix}\\right.\\tag{5}\\]

\\[\\beta(x,x)\\alpha(x,x)=1,\\;\\sum_{x\\geqslant z\\geqslant y}\\beta(x,z)\\alpha(z,y)=0\\tag{6}\\]

　　特别地，定义式（7）中的常用函数\\(\\zeta\\)为zeta函数，它的逆\\(\\mu\\)显然存在，被称之为Möbius函数。由式（6）可得到\\(\\mu\\)的递推式（8），它只包含\\(0,\\pm 1\\)，具体值与偏序集的结构有关。设偏序集\\(X_1,\\cdots,X_k\\)上有函数\\(\\delta_i,\\zeta_i,\\mu_i\\)，对于它们的直积\\(X\\)，首先显然有式（9）的前两式成立，式（10）的推导和逆元的唯一性也说明了第三式成立。

\\[\\zeta(x,y)=\\left\\{\\begin{matrix}1,&(x\\geqslant y)\\\\0,&(x\\not\\geqslant y)\\end{matrix}\\right.\\tag{7}\\]

\\[\\mu(x,x)=1,\\;\\mu(x,y)=-\\sum_{x\\geqslant z>y}\\mu(x,z)\\tag{8}\\]

\\[\\delta(x,y)=\\prod_{i=1}^k\\delta_i(x_i,y_i);\\;\\zeta(x,y)=\\prod_{i=1}^k\\zeta_i(x_i,y_i);\\;\\mu(x,y)=\\prod_{i=1}^k\\mu_i(x_i,y_i)\\tag{9}\\]

\\[\\delta(x,y)=\\prod_{i=1}^k\\sum_{x_i\\geqslant z_i\\geqslant y_i}\\zeta_i(x_i,z_i)\\mu_i(z_i,y_i)=\\sum_{x\\geqslant z\\geqslant y}\\prod_{i=1}^k\\zeta_i(x_i,z_i)\\mu_i(z_i,y_i)\\tag{10}\\]

2. Möbius反演公式

2.1 反演公式

　　有了以上准备工作，现在把例子中的问题进行扩展。为了避免对无限的讨论，先限定对任意\\(x\\)，小于它的元素有限，这样的偏序集称为下有限的。同样可以定义上有限，以下结论对上有限也有对应的结果。设\\(f(x),g(x)\\)是定义在偏序集\\(X\\)上的函数，而\\(\\alpha,\\beta\\)是\\(I(X)\\)中的互逆元，则需要证式（11）成立。

\\[f(x)=\\sum_{y\\leqslant x}\\alpha(x,y)g(y)\\;\\Leftrightarrow\\;g(x)=\\sum_{y\\leqslant x}\\beta(x,y)f(y)\\tag{11}\\]

　　为了论证方便，可以把\\(\\sum\\)的下标换成任意值\\(y\\)（因为当\\(y\\not\\leqslant x\\)时\\(\\alpha(x,y)=0\\)），证明\\(\\Rightarrow\\)时，只需把\\(f(y)=\\sum\\limits_z\\alpha(y,z)g(z)\\)带入右式中的\\(\\sum\\limits_y\\beta(x,y)f(y)\\)即可。过程从略，同样的方法可以验证\\(\\Leftarrow\\)。特别地，对zeta函数有Möbius反演公式（式（12））成立，而式（11）是它的推广形式，这些结论都是美国数学家Rota在1964年发表的。

\\[f(x)=\\sum_{y\\leqslant x}g(y)\\;\\Leftrightarrow\\;g(x)=\\sum_{y\\leqslant x}\\mu(x,y)f(y)\\tag{12}\\]

　　当偏序集是有限集时，关系代数其实可以表示成方阵，这时反演公式其实就是线性方程组的解。为了显式地表示式（11）的递推关系，我们需要把方阵的行（列）按照偏序集元素的从小到大的顺序排列，这就需要把偏序关系扩展成全序关系。这一点是不难做到的，首先对\\(n=1\\)的偏序集已经是全序集，当\\(n>1\\)时先把一个极小值记作\\(x_1\\)，其它\\(n-1\\)个元素仍然构成偏序集。由归纳法知它们可以扩展成全序集\\(x_2\\leqslant\\cdots\\leqslant x_n\\)，这时全序集\\(x_1\\leqslant\\cdots\\leqslant x_n\\)就是满足条件的扩展。这个全序集的关联代数的方阵就是下三角矩阵，元素可逆的充要条件是：方阵的对角元素非零。

2.2 反演公式的应用

2.2.1 递推数列

　　接下来具体讨论几个常见偏序集，先从最简单的单链\\(L_n\\)开始，则有式（13）的反演公式。把数列\\(f(n),g(n)\\)分别看成是行向量\\(F,G\\)，再把它们的递推关系表示为互逆的下三角方阵\\(A,B\\)，反演公式其实就是平凡的\\(F=AG\\Leftrightarrow G=BF\\)。特别地，\\(L_n\\)的\\(\\zeta,\\mu\\)分别可以表示为式（2）中的矩阵。以上结论对\\(n=\\infty\\)同样成立，\\(F,G\\)就变成无穷维行向量，\\(A,B\\)就是无穷维下三角方阵。

\\[f(n)=\\sum_{k=1}^na_{nk}g(k)\\;\\Leftrightarrow\\;g(n)=\\sum_{k=1}^nb_{nk}f(k)\\tag{13}\\]

　　有时候我们需要得到除\\(\\zeta,\\mu\\)之外的互逆函数（方阵），而利用两个关系简单的数列就可以反过来求互逆函数。这里拿多项式举例（以下假定读者有高中排列组合知识），假设有两个多项式序列\\(\\{p_n(x)\\},\\{q_n(x)\\}\\)，其中\\(p_k(x),q_k(x)\\)的阶都是\\(k\\)，容易证明它们可以互相唯一线性表示。如果能某个关联函数能找到适当的多项式序列，那它的逆也就容易求得。比如考察\\(p_n(x)=x^n\\)和\\(q_n(x)=(x-1)^n\\)，则显然有下式成立，所以二项式矩阵\\(a_{ij}=\\binom{i}{j}\\)的逆元就是\\(b_{ij}=(-1)^{i-j}\\binom{i}{j}\\)，它被称为二项式的反演公式。

\\[p_n(x)=\\sum_{k=0}^n\\binom{n}{k}q_k(x);\\;\\;q_n(x)=\\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\\binom{n}{k}p_k(x)\\tag{14}\\]

　　二项式是非常常用的数列，利用这个反演公式可以解决一些很难的计数问题。比如考虑把\\(n\\)封信拆开重装，记有\\(k\\)封信装错的的装法有\\(D_k\\)个，这个数称为错位排列数，以后还会讨论。因为\\(n\\)封信的随意排列有\\(n!\\)种，而这其中可以分为有\\(0,1,\\cdots,n\\)封装错的情况，从而有式（15）左式，由二项式反演公式就得到式（15）右式。

\\[n!=\\sum_{k=0}^k\\binom{n}{k}D_k\\;\\Leftrightarrow\\;D_n=\\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\\binom{n}{k}k!\\tag{15}\\]

　　特别地，当\\(q_n(x)=p_n(-x)\\)时，它们的关联函数与自己互逆。以下记\\((x)_n=x(x-1)\\cdots(x-n+1)\\)，考察\\(p_n(x)=(-x)_n\\)和\\(q_n(x)=(x)_n\\)，因为对任意整数\\(m\\)有式（16）成立。因为多项式之间的线性表示唯一，从而将\\(m\\)换成\\(x\\)等式也成立，这就得到了式（17），对应的反演公式被称为Lah反演公式。

\\[(-1)^n\\dfrac{(-m)_n}{n!}=\\binom{m+n-1}{n}=\\sum_{k=0}^n\\binom{n-1}{k-1}\\dfrac{(m)_k}{k!}\\tag{16}\\]

\\[(-x)_n=\\sum_{k=0}^nl_{nk}(x)_n\\;\\Leftrightarrow\\;(x)_n=\\sum_{k=0}^nl_{nk}(-x)_n,\\;l_{nk}=(-1)^n\\dfrac{n!}{k!}\\binom{n-1}{k-1}\\tag{17}\\]

2.2.2 容斥原理

　　本节讨论集合\\(A\\)的子集簇\\(B(A)\\)在包含关系下的偏序集，这里只讨论\\(\\zeta,\\mu\\)函数。前面已经知道，\\(B(A)\\)是同构于\\(L_2^n\\)的，而\\(L_2\\)的\\(\\mu\\)函数为\\(\\begin{bmatrix}1&0\\\\-1&1\\end{bmatrix}\\)。如果子集\\(S\\supset T\\)，则利用公式（9）易知\\(\\mu(S,T)=(-1)^{|S|-|T|}\\)，这个结论马上要用到。

　　现在要讨论\\(B(A)\\)的函数\\(f(S),g(S)\\)，并且它们有关系\\(f(S)=\\sum\\limits_{T\\subseteq S}g(T)\\)。为了使问题直观且有意义，可以建立如下模型：设集合的每个元素有属性集\\(X=\\{P_1,P_2,\\cdots,P_n\\}\\)中的部分属性，我们比较关心的集合有两种：恰好有属性子集\\(T\\)中的所有属性元素个数\\(N_{=}(T)\\)，和至少有\\(T\\)中所有属性的元素个数\\(N_{\\geqslant}(T)\\)。

　　这个模型还有一个我们更熟悉描述方法，记所有含有性质\\(P_k\\)的元素为\\(A_k\\)，则\\(A_1,\\cdots,A_n\\)可以看作是全集\\(A\\)里\\(n\\)个子集。把\\(n\\)种性质简记为\\([n]\\)，属性子集\\(T\\)则为\\([n]\\)的一个子集，式（18）说明了两种描述的等价关系。对另一个熟悉的集合\\(A_1\\cup\\cdots\\cup A_k\\)，可以先讨论它的逆\\(\\bar{A}_1\\cap\\cdots\\cap \\bar{A}_k\\)，将模型缩小为\\(k\\)个属性，它其实就是\\(N_{=}(\\varnothing)\\)。

\\[N_{\\geqslant}(T)=\\left|\\bigcap_{i\\in T}A_i\\right|;\\;N_{=}(T)=\\left|(\\bigcap_{i\\in T}A_i)\\cap(\\bigcap_{j\\not\\in T}A_j)\\right|\\tag{18}\\]

　　在实际问题中，\\(N_{\\geqslant}(T)\\)更容易求得，因为它只需关注具有属性集\\(T\\)元素。\\(N_{=}(T)\\)则比较难计算，但我们容易有式（19）左边的关系。它们满足属性子集的对偶偏序集上的反演公式，则容易有式（19）右边的结论。特别地有式（20）成立，它还有个直观的描述，不含有任何性质的元素可以这样计数：先在全集\\(A\\)中分别去除\\(A_i\\)的个数，然后加上被重复去除的\\(A_i\\cap A_j\\)，再加上多去除的部分……。这个过程就是在反复地去除再添加，因此式（20）也叫容斥原理。

\\[N_{\\geqslant}(T)=\\sum_{S\\supseteq T}N_{=}(S)\\;\\Leftrightarrow\\;N_{=}(T)=\\sum_{S\\supseteq T}(-1)^{|S|-|T|}N_{\\geqslant}(S)\\tag{19}\\]

\\[|A|-\\left|A_1\\cup\\cdots\\cup A_n\\right|=N_{=}(\\varnothing)=\\sum_{k=0}^n(-1)^k\\sum_{|S|=k}N_{\\geqslant}(S)\\tag{20}\\]

　　容斥原理是个很古老的结论，这里利用反演公式的证明比任何初等证明都清晰。之前其实我们已经运用过这个结论，这里再举几个例子。先来回顾一下错位排列问题，把第\\(i\\)位没有排错作为性质\\(P_i\\)。至少有\\(k\\)位排列正确的个数有\\(\\binom{n}{k}(n-k)!\\)，利用容斥原理并整理得式（21）左，它和式（15）其实是一样的。有趣的是还有式（21）右成立，它说明信封完全装错的概率趋于\\(1/e\\)。

\\[D_n=n!\\sum_{k=0}^n\\dfrac{(-1)^k}{k!};\\;\\;\\lim_{n\\to\\infty}\\dfrac{D_n}{n!}=\\dfrac{1}{e}\\tag{21}\\]

　　再来看欧拉函数\\(\\varphi(n)\\)，它表示\\([n]\\)中与\\(n\\)互素的数的个数。设\\(n\\)的全部质因数是\\(p_1,\\cdots,p_k\\)，以被\\(p_i\\)整除为性质\\(P_i\\)，\\([n]\\)中至少被\\(m\\)个质因数整除的个数是\\(\\sum \\dfrac{n}{p_{i_1}\\cdots p_{i_m}}\\)。利用容斥原理并整理得式（22），它也有显然的概率论意义：不被\\(p_i\\)整除 与不被\\(p_j\\)整除是独立事件。

\\[\\varphi(n)=n(1-\\dfrac{1}{p_1})(1-\\dfrac{1}{p_2})\\cdots(1-\\dfrac{1}{p_k})\\tag{22}\\]

　　• 计算\\([n]\\)中与\\(n\\)互素的数之和；（提示：计算能整除\\(p_1\\cdots p_i\\)的数之和，答案\\(\\dfrac{1}{2}n\\varphi(n)\\)）

　　• 字母\\(a_1,\\cdots,a_n\\)各有两个，用它组成的\\(2n\\)元字中，相同字母不相邻的字有多少个？

2.2.3 经典反演公式

　　最后来讨论正整数集在整除关系下偏序集，其实这是Möbius反演公式的最初原型。当\\(d|n\\)时，先来计算\\(\\mu(n,d)\\)，为此考虑偏序集\\(D(n)\\)，其中\\(n=p_1^{e_1}\\cdots p_k^{e_k}\\)。前面知道它同构于\\(L_{e_1+1}\\times\\cdots\\times L_{e_k+1}\\)，\\(\\mu_i(n_i,d_i)\\)（\\(n_i,d_i\\)分别是\\(n,d\\)中\\(p_i\\)的幂）当\\(n_i=d_i\\)相等时为\\(1\\)，当\\(n_i=d_ip_i\\)时为\\(-1\\)，其它为\\(0\\)。

　　利用公式（9）可以证明，\\(\\mu(n,d)\\)只与\\(m=\\dfrac{n}{d}\\)有关，由此可直接记作\\(\\mu(m)\\)。它就是经典Möbius函数，易知它有表达式（23），其下的经典Möbius反演公式便是式（24），之前的反演公式是推广后的结论。

\\[\\mu(m)=\\left\\{\\begin{matrix}(-1)^r,&\\text{all }e^i=1\\\\0,&\\text{others}\\end{matrix}\\right.,\\;\\;(m=p_1^{e_1}\\cdots p_r^{e_r},\\;\\text{all }e^i>0)\\tag{23}\\]

\\[f(n)=\\sum_{d|n}g(d)\\;\\Leftrightarrow\\;g(n)=\\sum_{d|n}\\mu(\\dfrac{n}{d})f(d)\\tag{24}\\]